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哈密顿方程
一、勒让德变换 !NOTE 将原有的独立变量的一部分或者全部，换为相应的共轭变量，从而得到一个新函数，这种变换称为勒让德变换。 1、一元函数勒让德变换 函数$fx$是变量$x$的函数，且$ux=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}fx$，可以构造一个新的以$u$为自变量的函数： $$ g=xuf $$ 取$g$的全微分：...
拉格朗日方程
一、第二类拉格朗日方程 一般地，质点系各个质点的矢量坐标可以表示为广义坐标的函数$\vec{r}=\vec{r}iq1,q2,\cdots,qk;t$。质点速度相应地通过广义速度表示为： $$ \dot{\vec{r}}i=\sum{l=1}^k\frac{\partial {\vec{r}}i}{\partial ql}\dot{q}l+\frac{\p...
柱函数
一、三类柱函数 前面已经求出$\nu$阶贝塞尔方程的通解，即： $$ yx=C1J\nux+C2J{\nu}x $$ 或者是： $$ yx=C1J\nux+C2N{\nu}x $$ 其中第一个通解不适用于整数$m$阶贝塞尔方程，但是第二个对整数阶的情况照样适用。通常又取线性独立的两个函数： $$ H\nu^{1}x=J\nux+\mathrm{i}N\nu...
动力学普遍方程
一、广义坐标 1、自由度 一般情况下，一个由$n$质点组成的质点系在空间的位形用直角坐标来确定需要$3n$个坐标，即： $$ xi,\, yi,\, zi \quad i = 1,\, 2,\, \ldots,\, n $$ 如果系统受到$s$个完整约束，其约束方程为： $$ fjx1,\, y1,\, z1;\, \ldots;\, xn,\, yn...
格林函数
一、泊松方程的格林函数法 1、格林函数 格林函数又称点源函数，代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场，知道了点源的场就可以用叠加的方法求出任意源所产生的场。冲量定理是在时间域上进行叠加，这里把问题扩充到空间域上进行叠加。形式为： $$ \begin{aligned}&\Delta u=f\vec r ,\vec r \in T\\&\...
球函数
根据前面的知识，对拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程进行分离变量，得到球函数方程： $$ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\part...
虚位移原理
一、约束方程与约束分类 1、约束方程 非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的平衡。约束的作用在于：一方面阻挡了受约束的物体沿某些方向的位移，这时该物体受到约束力的作用；而另一方面，约束也容许物体有可能沿另一些方向获得位移。 当质点系平衡时，主动力与约束力之间，以及主动力与约束所许可位移之间，都存在着一定的关系。这两种关系都可以作为质点系平衡的...
达朗贝尔原理
一、达朗贝尔原理 1、质点达朗贝尔原理 设质量为$m$的非自由质点$D$，在主动力$F$和约束力$FN$作用下沿曲线运动，该质点的动力学基本方程为： $$ m\vec{a}=\vec{F}+\vec{F}N $$ 或： $$ \vec{F}+\vec{F}N+m\vec{a}=\vec{0} $$ 引入质点的惯性力$\vec{F1}=m\vec{a}$...
几何光学
一、光速 在真空中： $$ c=\frac{1}{\sqrt{\mu0\varepsilon0}} $$ 在介质中： $$ v=\frac{1}{\sqrt{\kappam\kappam\mu0\varepsilon0}}=\frac{e}{\sqrt{\kappam\kappae}} $$ 即： $$ v=\frac{c}n $$ 其中$n=\sqrt{...
动力学综合问题
一、初瞬时问题 初瞬时问题，即系统本来静止，突然因为某个原因导致开始运动。 例1： <img src="https://laoguantx.top/article/物理/理论力学/动力学综合问题/image20251202142344585.png" alt="image20251202142344585" style="zoom:50%;" / ...