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数值微分与数值积分
微积分学提供了求函数导数与定积分的解析方法，但在实际问题中，函数往往以离散数据形式给出，或虽具有解析表达式却难以求导或原函数无法用初等函数表示。因此，需要建立基于离散点上的函数值来近似计算导数与积分的数值方法，分别称为数值微分与数值积分。 一、数值微分 数值微分的基本思想是利用函数在若干点上的值，通过差商或插值多项式来近似函数的导数。 ...
函数逼近
在前几章中，我们讨论了插值法，其核心要求是近似函数必须严格通过所有给定的数据节点。然而，在实际工程与科学实验中，观测数据往往带有测量误差，且数据点数量庞大。若强行要求近似曲线穿过每一个点，不仅计算复杂，还可能因过度拟合而放大噪声，导致曲线剧烈振荡，反而无法反映被研究现象的整体变化规律。 为此，我们需要另一类数值方法——曲线拟合（又称函数逼近）。它不要求...
插值法
在生产实践中，由于给出的通常是一批离散的样点，为了满足设计和理论分析的需要，我们需要寻求函数的分析表达式。解决这类问题主要有两类方法：一类是要求近似函数严格通过给定的已知样点，这称为插值法；另一类则不要求严格通过已知点，只要求总偏差最小，称为曲线拟合法。本文详细梳理插值法（特别是多项式插值）的理论、公式推导及误差分析。 一、拉格朗日 Lagrange 插...
矩阵特征值与特征向量的计算
一、幂法和反幂法 1、幂法 由于求解特征方程$|\boldsymbol{I}\lambda\boldsymbol{A}|=0$的计算量巨大，所以在求解特征值时，要从特征值的定义 $$ \boldsymbol{Ax}=\lambda\boldsymbol{x} $$ 入手。设 $n \times n$ 阶实矩阵 $A$ 的特征值 $\lambdai \ ...
求线性方程组解的直接方法
线性方程组具有一般形式：（后面自己进去看）
误差
一、误差的基本概念 由数学方法解决实际问题时，通常按照以下过程： $$ 实际问题\xrightarrow{抽象、简化}数学模型\xrightarrow{数值计算}问题近似解 $$ 引起误差的原因有很多： 1. 模型误差：实际问题的解与数学模型解的之差。 2. 观测误差：数学问题的一些参量的值往往由观测得到，但是观测不可能绝对准确，由此产生的误差称为“...