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常微分方程求解（6）
设$n$阶常数矩阵$\mathbf{A}$中的每一元素$a{ij}\ i,j=1,\cdots,n$都是常数，则称 $$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{Ax} + \mathbf{f}t $$ 为常系数线性微分方程组。 我们先介绍常系数齐次方程组 $$ \frac{\m...
叉积和混合积性质
一、叉积 1、定义 设$\mathbf{a} = a1, a2, a3$，$\mathbf{b} = b1, b2, b3$是三维空间中的两个向量，则它们的差积（叉积）定义为： $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \...
一阶线性微分方程组解的一般理论
我们约定向量用粗体小写字母表示，如 $\mathbf{x}$，矩阵用大写字母表示，如 $A$。该部分考试不做要求。 一、一阶微分方程组的标准形式 含有 $n$ 个未知函数 $x1t, x2t, \ldots, xnt$ 的 $n$ 个一阶微分方程构成的一阶微分方程组，如果已经解出了一阶导数 $\frac{\mathrm{d}x1}{\mathr...
线性微分方程解的一般理论
一、线性微分方程 1、方程形式 我们将未知函数 $y$ 及其导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$ 是一次式的 $n$ 阶微分方程，称为线性微分方程。这是在应用中经常遇到的一类方程，其一般形式是： $$ \frac{\...
雅可比矩阵在积分变量替换上的应用
极坐标变换的雅可比行列式推导过程是理解多变量积分中变量替换的核心。以下是详细推导，结合几何直观与代数计算，验证其正确性。 一、极坐标变换的定义 将笛卡尔坐标 $x, y$ 转换为极坐标 $r, \theta$： $$ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta $$ 其中： $ r \g...
雅可比矩阵
一、雅可比矩阵的定义与推导 雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述向量值函数一阶偏导数的矩阵。对于一个函数 $ \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $，其雅可比矩阵 $ J{\mathbf{F}} $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，元素为各输出分量对输入变量的偏导数： $$ J...
概率论中的卷积公式
在概率论中，卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法，通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应，通常应用于连续型和离散型随机变量。 一、连续型随机变量的卷积 设 $X$ 和 $Y$ 为两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度函数分别为 $fXx$ 和 $fYy$。那么随机变量 $Z = X + Y$ 的概率密度...
线性代数基本定义定理
一、线性空间 1、定义：线性空间 设$V$ 是一个非空集合，$\mathbf{F}$ 是一个数域，我们定义两种运算，其中第一个运算是我们， 熟知的加法$+$。在线性空间的定义中，我们要求$\langle V:+\rangle$构成 Abel 群，即其中元素满足如下运算律： 1. （加法结合律）$\alpha + \beta + \gam...
集合、关系、运算、结构
一、集合、子集、幂集、直积 1. 设$A,B$是两个集合，如果$A,B$含的元素全相同，就说$A,B$相等，记作$A=B$。如果对任意的$a\in A$，均有$a\in B$，则称$A$是$B$的子集，或说$A$含于$B$，$B$包含$A$，记作$A\subset B$. 对任意的集合$A$ ,均有$\emptyset\subset A,A\s...
各种群的定义
一、定义 代数系统$\langle G: \circ \rangle$称为群，如果： 0. 运算封闭性。 1. 运算$\circ$满足结合律，即$\forall a,b,c\in G,a\circb\circ c=a\circ b\circ c$ 2. $G$关于运算$\circ$存在单位元，即$\exists e\in G$，使 $...