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柱函数
一、三类柱函数 前面已经求出$\nu$阶贝塞尔方程的通解，即： $$ yx=C1J\nux+C2J{\nu}x $$ 或者是： $$ yx=C1J\nux+C2N{\nu}x $$ 其中第一个通解不适用于整数$m$阶贝塞尔方程，但是第二个对整数阶的情况照样适用。通常又取线性独立的两个函数： $$ H\nu^{1}x=J\nux+\mathrm{i}N\nu...
格林函数
一、泊松方程的格林函数法 1、格林函数 格林函数又称点源函数，代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场，知道了点源的场就可以用叠加的方法求出任意源所产生的场。冲量定理是在时间域上进行叠加，这里把问题扩充到空间域上进行叠加。形式为： $$ \begin{aligned}&\Delta u=f\vec r ,\vec r \in T\\&\...
球函数
根据前面的知识，对拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程进行分离变量，得到球函数方程： $$ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\part...
传输线方程
一、传输线电报方程 !image20251126151056480https://laoguantx.top/article/数学/数学物理方法/传输线方程/image20251126151056480.png 和直流不同，当导线上传输信号频率较高且导线长度与信号波长在同一数量级时，需要考虑导线中分布的电阻、电容、电感和漏电所带来的影响。以平行双线为例推...
二阶常微分方程级数解法与本征值问题
一、特殊函数常微分方程 圆球形和圆柱形就是两种常见的边界，相应地用球坐标系和柱坐标系比较方便。本文研究球坐标系和柱坐标系中的分离变数法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题。 1、拉普拉斯方程$\Delta =0$ 1 球坐标系 写出球坐标系下拉普拉斯方程： $$ \Delta u=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\pa...
分离变量法
一、分离变量法的理论基础 1、线性问题的叠加原理 非齐次线性微分方程的解可以分解成一个非齐次方程的特解与多个齐次微分方程解的叠加；对于非齐次的边界条件，也可以把它拆分成一个特定非齐次边界条件与多个齐次边界条件的叠加。把拆分后的微分方程与边界条件进行组合，从而可以把原来比较复杂、难以求解的问题简化为一些比较容易、易于求解问题的叠加。 2、线性问题形式...
数学物理定解问题
一、数学物理方程的导出 1、一维波动方程或者弦的微小横振动 1 物理问题 一固定长度的柔软、均匀细弦，两端拉紧（一般两端固定）。在垂直于弦线方向施加外加激励（可能在初始时刻施加，也可能是在运动过程中持续施加）让它离开原来平衡位置， 在此外加激励作用下弦将作微小的横向振动，需要找到弦上个每个点的运动方程。 2 问题简化 题目中提到的几处字眼： ...