一、勒让德变换

1、一元函数勒让德变换

函数是变量的函数，且，可以构造一个新的以为自变量的函数：

取的全微分：

也就是：

于是，就是变量的函数：

我们称称为函数的勒让德变换，它存在的条件，就是可以表示为的函数，也就是说存在反函数，根据反函数定理，要求：

而在真实的物理系统中，总是存在勒让德变换。

2、二元函数勒让德变换

(1) 变换一

函数是变量和的函数，且，故有：

为了得到一个以为自变量的新函数，可以构造：

取的全微分：

根据全微分定义，得到：

于是，就是变量和的函数。我们称称为函数的勒让德变换，它存在的条件，就是可以表示为的函数，也就是说存在反函数，根据反函数定理，要求：

(2) 变换二

函数是变量和的函数，且，为了得到一个以为自变量的新函数，可以构造：

取的全微分：

根据全微分定义，得到：

于是，就是变量和的函数。我们称称为函数的勒让德变换，它存在的条件，就是可以表示为的函数，也就是说存在反函数，根据反函数定理，要求：

3、勒让德变换的一般方法

函数是变量的函数，有：

将变量变换为，相应的函数变为，可以构造：

勒让德变换存在的条件为的雅可比行列式不为，在真实的物理系统中都存在勒让德变换。

勒让德变换的逆变换：

同样也适合勒让德逆变换

二、哈密顿方程

1、保守系统的哈密顿方程

设质点系由个质点组成，受到个完整约束，具有个自由度。理想约束情况下，保守系统的拉格朗日方程为：

引入广义动量：

以广义动量和广义坐标作为描述系统状态变量，建立系统的运动微分方程组：

其中的函数称为哈密顿函数。对取全微分，得到：

利用拉格朗日方程：

综合即为哈密顿方程，是关于系统状态变量和的个一阶微分方程组：

哈密顿方程的数量是系统自由度的2倍。

2、非保守系统的哈密顿方程

对于非保守系统，主动力可以分为有势力和非有势力两类，系统的拉格朗日方程为：

那么广义动量关于时间的全导数为：

于是非保守系统的哈密顿方程为：

3、哈密顿函数

广义速度表示的动能为：

哈密顿函数是通过广义动量和广义坐标表示的广义能量：

那么对于定常约束系统，满足，有：

即通过广义动量和广义坐标表示的机械能。