112
文章
21
标签
18.9W
文字
常用积分表
一、常见积分表 | 序号 | 积分表达式 | 积分结果 | | | | | | 1 | $\int x^n \, \mathrm{d}x$ ...
常微分方程求解（6）
设$n$阶常数矩阵$\mathbf{A}$中的每一元素$a{ij}\ i,j=1,\cdots,n$都是常数，则称 $$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{Ax} + \mathbf{f}t $$ 为常系数线性微分方程组。 我们先介绍常系数齐次方程组 $$ \frac{\m...
叉积和混合积性质
一、叉积 1、定义 设$\mathbf{a} = a1, a2, a3$，$\mathbf{b} = b1, b2, b3$是三维空间中的两个向量，则它们的差积（叉积）定义为： $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \...
一阶线性微分方程组解的一般理论
我们约定向量用粗体小写字母表示，如 $\mathbf{x}$，矩阵用大写字母表示，如 $A$。该部分考试不做要求。 一、一阶微分方程组的标准形式 含有 $n$ 个未知函数 $x1t, x2t, \ldots, xnt$ 的 $n$ 个一阶微分方程构成的一阶微分方程组，如果已经解出了一阶导数 $\frac{\mathrm{d}x1}{\mathr...
梯度、散度、旋度
我们首先介绍矢量微分算子 $\nabla$ Nabla 或 Del 算子。在三维笛卡尔坐标系中，它的定义是： $$ \nabla = \mathbf{i} \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{j} \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{k} \frac{\partial}{\p...
格林公式、高斯公式、斯托克斯公式
一、格林公式 1、公式内容 $$ \oint{C} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint{D} \left \frac{\partial Q}{\partial x} \frac{\partial P}{\partial y} \right\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$ ...
常微分方程求解（5）
本文系统介绍一般线性微分方程的部分解法，包括：变量变换法（欧拉方程、降阶法、特殊变系数方程）、变动任意常数法、幂级数解法（定理、$\gamma$ 阶贝塞尔方程及其解）。 一、变量变换法 1、欧拉方程（CauchyEuler 方程） 典型形式： $$ a{0}x^{n}\frac{\mathrm{d}^{n}n}{\mathrm{...
二重极限存在性与不存在性的证明方法
一、二重极限的定义 设函数$fx, y$在区域$D$内，点$x0, y0$是$D$的聚点。若 $$ \lim{x, y \to x0, y0} fx, y = A $$ 则称$A$为$fx, y$在点$x0, y0$处的二重极限，记作 $$ \lim{x, y \to x0, y0} fx, y = A $$ 二、证明二重极限存在...
空间中切线、法平面、切平面、法线的求法
一、空间曲线的切线与法平面 1、曲线为参数方程表示 设空间曲线$C$的参数方程为： $$ \begin{cases} x = xt \\ y = yt \\ z = zt \end{cases} $$ 其中$t$为参数。其切向量为： $$ \vec{r}'t = \left \frac{\mathrm{d}x}{\mat...
常微分方程求解（4）
本文将系统介绍常系数线性微分方程的解法方法，分别包括二阶常系数齐次线性微分方程、$n$ 阶常系数齐次线性微分方程、以及常系数非齐次线性微分方程的解法。详细推导各步骤，便于理解和掌握。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 考虑如下方程： $$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + a1\frac{\ma...