一、应力状态

1、应力是位置的函数

材料中不同点处的应力一般不同：

更一般地，三维连续体中某点的应力状态可由应力张量表示：

由力矩平衡可得剪应力互等：

因此应力张量为对称张量。

2、点的应力状态唯一

虽然过同一点可以取无穷多个不同方向的截面，每个截面上的正应力和切应力不同，但它们都由该点唯一的内禀应力状态决定。

3、主平面、主应力与应力状态分类

主平面为切应力为零的平面。主应力为作用在主平面上的正应力。

主应力记为：

并约定：

应力状态分类：

1. 单向应状态：三个主应力中只有一个非零。
2. 二向应力状态：三个主应力中有两个非零。
3. 三向应力状态：三个主应力均非零。

二、二向与三向应力状态

1、薄壁圆筒压力容器

设圆筒内压为 ，直径为 ，壁厚为 ，且满足薄壁条件：

通常认为壁厚方向应力远小于环向与轴向应力：

取圆筒横截面，内压对端盖的合力为：

筒壁横截面积近似为：

由轴向平衡：

解得轴向应力：

沿圆筒轴线剖开半个圆筒，设长度为 。内压在直径投影面上的合力为：

两侧筒壁承受拉力：

由横向平衡：

解得环向应力：

因此薄壁圆筒压力容器的主应力为：

并且：

2、三向应力状态

三向应力状态是最一般的应力状态，包括：

• 三向拉伸；
• 三向压缩；
• 一般空间复杂应力状态。

三、平面应力状态解析法

平面应力状态中：

应力张量可写为：

且：

1、斜截面上的应力

设斜截面外法线 与 轴夹角为 。斜截面面积为 ，则其在 、 坐标面上的投影面积分别为：

斜截面上的正应力为 ，切应力为 。对微元列平衡方程。沿 方向平衡：

约去 ：

沿 方向平衡：

约去 ：

由于 ，记为 。

2、平面应力转换公式推导

由平衡方程：

将第一式乘 ，第二式乘 ，相加得：

所以：

利用恒等式：

得到：

再将第一式乘 ，第二式乘 ，相加得：

因此：

最终平面应力转换公式为：

3、主应力与主平面

主平面上切应力为零，也可由正应力取极值得到。

对 求导：

令其为零：

整理得：

若 ，则：

即主平面方向满足：

两个主平面互相垂直：

4、主应力公式推导

令：

则：

该表达式中后两项的最大幅值为：

因此：

即：

平面应力中第三主应力为零，因此主应力排序需结合 、 与 ：

1. 若 ：

2. 若 ：

3. 若 ：

主应力之和不变：

5、最大切应力

对 求导：

令：

得到：

所以：

即：

比较主平面方向：

可知：

因此：

平面内最大切应力为：

由于：

所以：

在最大切应力平面上，正应力为：

6、空间最大切应力

若三个主应力为：

则三个主应力平面对应的最大切应力为：

空间最大切应力为：

7、典型应力状态

对于纯剪切状态：

主应力：

所以：

最大切应力：

对于单向拉伸：

最大切应力：

四、莫尔圆

1、莫尔圆方程

平面应力转换公式：

令：

则：

平方相加：

展开后交叉项抵消：

所以：

这是一圆方程。

圆心：

半径：

2、莫尔圆构造

在 平面上取两点：

由符号规定，有：

则 为圆的一条直径，圆心为：

半径：

3、莫尔圆中的几何意义

1. 圆上任意点 表示某一斜截面上的应力。
2. 物理平面转角为 ，莫尔圆上半径转角为 。
3. 主应力对应莫尔圆与 轴的交点：

4. 平面内最大切应力对应圆的最高点与最低点：

5. 最大切应力平面与主平面夹角为：

五、三向应力状态

1、任意斜截面上的应力

设斜截面单位法向量为：

其中：

并满足：

应力张量：

斜截面上的应力矢量为：

即分量形式：

斜截面法向正应力为应力矢量在法向上的投影：

因此：

代入：

应力矢量大小：

切应力大小满足：

所以：

2、主应力与主平面

主平面上切应力为零，因此应力矢量与法向量平行：

即：

代入应力矢量分量：

整理：

要有非零解 ，系数行列式必须为零：