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一阶线性微分方程组解的一般理论
我们约定向量用粗体小写字母表示，如 $\mathbf{x}$，矩阵用大写字母表示，如 $A$。该部分考试不做要求。 一、一阶微分方程组的标准形式 含有 $n$ 个未知函数 $x1t, x2t, \ldots, xnt$ 的 $n$ 个一阶微分方程构成的一阶微分方程组，如果已经解出了一阶导数 $\frac{\mathrm{d}x1}{\mathr...
线性代数基本定义定理
一、线性空间 1、定义：线性空间 设$V$ 是一个非空集合，$\mathbf{F}$ 是一个数域，我们定义两种运算，其中第一个运算是我们， 熟知的加法$+$。在线性空间的定义中，我们要求$\langle V:+\rangle$构成 Abel 群，即其中元素满足如下运算律： 1. （加法结合律）$\alpha + \beta + \gam...
集合、关系、运算、结构
一、集合、子集、幂集、直积 1. 设$A,B$是两个集合，如果$A,B$含的元素全相同，就说$A,B$相等，记作$A=B$。如果对任意的$a\in A$，均有$a\in B$，则称$A$是$B$的子集，或说$A$含于$B$，$B$包含$A$，记作$A\subset B$. 对任意的集合$A$ ,均有$\emptyset\subset A,A\s...
各种群的定义
一、定义 代数系统$\langle G: \circ \rangle$称为群，如果： 0. 运算封闭性。 1. 运算$\circ$满足结合律，即$\forall a,b,c\in G,a\circb\circ c=a\circ b\circ c$ 2. $G$关于运算$\circ$存在单位元，即$\exists e\in G$，使 $...
增广矩阵与解线性方程组
一、增广矩阵 对于一个由$m\times n$个数排成$m$个横行，$n$个竖列的矩形数表称为$m\times n$矩阵。 对于一个$m\times n$的矩阵$A$，我们可以在它的右边加上一个$m\times1$的列向量$\boldsymbol b$，得到一个$m\timesn+1$的矩阵$A,\boldsymbol b$，这个矩阵被称为$A$的增...
n元向量与高斯消元法
一、$n$元向量 在研究问题过程中，有些研究对象可以用多个数组组成的有序数组来描述，例如在$n$元一次方程$a1x1+a2x2+\cdots+anxn=b$中，可以用其系数和常数$b$排成有序$n+1$元数组$a1,a2,\cdots,an,b$来表示；在按照升幂排列成的一元$n$次多项式$Px=a0+a1x+a2x^2+a2x^3+\cdots+an...
线性代数引入
一、多元线性方程组的求解与解的性质 1. 线性方程组存在三种解的情况： 1. 无解 2. 无数解 3. 唯一解 判断法则：秩。 2. 判断无穷多解的情况，需要找到无穷多解的“本质”，本质便是找到个数唯一确定的有限多个解。 二、二次曲线、二次曲面与二次超曲面 我们在中学中学习过二次曲线包括抛物线...