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常微分方程求解（6）
设$n$阶常数矩阵$\mathbf{A}$中的每一元素$a{ij}\ i,j=1,\cdots,n$都是常数，则称 $$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{Ax} + \mathbf{f}t $$ 为常系数线性微分方程组。 我们先介绍常系数齐次方程组 $$ \frac{\m...
一阶线性微分方程组解的一般理论
我们约定向量用粗体小写字母表示，如 $\mathbf{x}$，矩阵用大写字母表示，如 $A$。该部分考试不做要求。 一、一阶微分方程组的标准形式 含有 $n$ 个未知函数 $x1t, x2t, \ldots, xnt$ 的 $n$ 个一阶微分方程构成的一阶微分方程组，如果已经解出了一阶导数 $\frac{\mathrm{d}x1}{\mathr...
常微分方程求解（5）
本文系统介绍一般线性微分方程的部分解法，包括：变量变换法（欧拉方程、降阶法、特殊变系数方程）、变动任意常数法、幂级数解法（定理、$\gamma$ 阶贝塞尔方程及其解）。 一、变量变换法 1、欧拉方程（CauchyEuler 方程） 典型形式： $$ a{0}x^{n}\frac{\mathrm{d}^{n}n}{\mathrm{...
常微分方程求解（4）
本文将系统介绍常系数线性微分方程的解法方法，分别包括二阶常系数齐次线性微分方程、$n$ 阶常系数齐次线性微分方程、以及常系数非齐次线性微分方程的解法。详细推导各步骤，便于理解和掌握。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 考虑如下方程： $$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + a1\frac{\ma...
线性微分方程解的一般理论
一、线性微分方程 1、方程形式 我们将未知函数 $y$ 及其导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$ 是一次式的 $n$ 阶微分方程，称为线性微分方程。这是在应用中经常遇到的一类方程，其一般形式是： $$ \frac{\...
常微分方程求解（2）
一、全微分方程定义与性质 我们将一阶方程改写为对称的形式： $$ Mx, y\mathrm{d}x + Nx, y\mathrm{d}y = 0 $$ 如果上式的左边恰好是某一个二元函数 $ux, y$ 的全微分，即： $$ Mx, y\mathrm{d}x + Nx, y\mathrm{d}y = \mathrm{d}ux, y $$ ...
常微分方程求解（1）
一般，在一个（组）方程中，如果未知量是一个（组）函数，而且该方程中含有此未知函数的导数，则称这种方程为微分方程（组），如果在微分方程里，出现的未知函数是单个自变量的函数，我们称这一类微分方程为常微分方程。下面通过几篇文章，推导各种常微分方程的求解方法。 一、可分离变量方程 我们首先讨论已解出导数的一阶微分方程的一种特殊形式 $$ \fr...