数值微分与数值积分 - 老官童鞋gogo的博客

微积分学提供了求函数导数与定积分的解析方法，但在实际问题中，函数往往以离散数据形式给出，或虽具有解析表达式却难以求导或原函数无法用初等函数表示。因此，需要建立基于离散点上的函数值来近似计算导数与积分的数值方法，分别称为数值微分与数值积分。

一、数值微分

数值微分的基本思想是利用函数在若干点上的值，通过差商或插值多项式来近似函数的导数。

1、差商型求导公式

由导数的定义

当步长充分小时，可用差商近似导数。常用的差商公式有：

向前差商公式

向后差商公式

中心差商公式

利用泰勒展开可估计其截断误差。将与在处展开：

向前差商的误差：

向后差商同样为一阶精度。

中心差商：

可见中心差商具有二阶精度，优于前两种一阶精度公式。但步长过小时，会因有效数字相消而产生较大的舍入误差，因此实际应用中需选择合适的步长。

2、插值型求导公式

若已知函数在节点上的值，可构造插值多项式近似，并用的导数作为导数的近似：

这就是插值型求导公式。由于插值余项：

其中。对求导得：

通常只在节点处估计误差，因为在节点处，从而：

而：

所以：

因此，插值型求导通常用于求节点处的导数近似值。

下面给出等距节点情形下常用的一阶导数公式。

(1) 两点公式（）

设节点，一次 Lagrange 插值多项式为：

求导得：

因此在两个节点处均有：

截断误差分别为：

(2) 三点公式（）

设等距节点，二次 Lagrange 插值多项式为

求导得：

分别代入，得到三点公式：

对应的截断误差为：

二阶导数的近似可用二次插值多项式的二阶导数，由于为常数，得到：

其截断误差为。

二、数值积分的基本思想

定积分定义为积分和的极限：

该式表明积分值可近似为若干点上函数值的线性组合。一般地，数值求积公式具有如下形式：

其中为积分区间上的节点，为求积系数，仅与节点选取有关，与被积函数无关。

最自然的构造方法是插值型求积：用的插值多项式代替被积函数，以其积分作为近似。设为次 Lagrange 插值多项式：

则：

因此求积系数：

该公式的截断误差恰为插值余项在区间上的积分：

三、牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式

当节点取等距分布时，插值型求积公式可化为更简洁的形式，称为牛顿-科茨公式。

设区间被等分，步长，节点。求积系数为：

令，则，且：

于是：

定义科茨系数：

则：

从而牛顿-科茨公式为：

科茨系数与积分区间和被积函数无关，可事先制表。

特别地，常见的低阶公式：

（梯形公式）：

故：

几何上以梯形面积近似曲边梯形面积。
（辛普森/抛物线公式）：

故：

几何上以过三点的抛物线近似。
（科茨公式）：

四、代数精确度与误差估计

1、代数精确度的定义

若求积公式对任意次数不超过的多项式均精确成立，而对某个次多项式不精确成立，则称该求积公式具有次代数精确度。代数精确度是衡量求积公式精度的重要指标。由插值型求积公式的构造可知，阶牛顿-科茨公式至少具有次代数精确度。进一步有：偶数阶（）牛顿-科茨公式至少具有次代数精确度。

证明：设为任意次多项式，其最高次项系数为。由余项公式

由于，且等距节点，令，则

乘积因子为

该函数为奇函数，积分区间关于原点对称，故积分为零。因此，即公式对次多项式精确成立。而次多项式一般不能精确成立，故代数精确度为。证毕。

例如，梯形公式（，奇数阶）具有 1 次代数精确度；辛普森公式（，偶数阶）具有 3 次代数精确度；科茨公式（）具有 5 次代数精确度。

2、梯形公式与辛普森公式的误差估计

（1）梯形公式的误差

由余项公式：

由于在上不变号，且连续，由积分中值定理，存在，使得：

而：

故：

（2）辛普森公式的误差

构造三次 Hermite 插值多项式，使其在端点处函数值与相同，在中点处函数值和导数值与相同，即：

其插值余项为：

由于辛普森公式具有 3 次代数精确度，它对三次多项式精确成立：

因此：

由于在上不变号（非正），应用积分中值定理，存在，使得：

计算积分：令，取为原点，则，

而，故：

科茨公式（）的误差为：

五、复化求积公式

当积分区间较大或要求较高精度时，直接使用高阶牛顿-科茨公式可能不稳定（科茨系数会出现负值），且高次插值易产生龙格现象。为此采用复化求积法：将区间等分成若干子区间，在每个子区间上用低阶求积公式，然后累加。这样既提高了精度，又保证了数值稳定性。

1、复化梯形公式

将等分，步长，节点。在每个小区间上用梯形公式：

累加得：

这就是复化梯形公式。每个小区间上的误差为，总误差：

若在上连续，由介值性，存在使得：

故：

即复化梯形公式的误差为。

2、复化辛普森公式

将分成个小区间（为偶数，常用等分），步长，在每个小区间上用辛普森公式（需三个点）：

累加得：

合并同节点项：：

其中必须为偶数。每个子区间的辛普森误差为，总误差：

可见复化辛普森公式的误差为，精度远高于复化梯形公式。

3、复化科茨公式

若在每个小区间上用科茨公式（需4个子区间），可得复化科茨公式，其误差为，但计算量增大，实际中较少使用。

复化求积公式是数值积分中最常用的方法，其优点在于可通过增加节点数（减小）来提高精度，且稳定性好。在实际计算中，常采用变步长自适应策略（如龙贝格积分）来在精度与计算量之间取得平衡。

六、高斯（Gauss）型求积公式

1、基本思想与最高代数精确度

牛顿-科茨求积公式采用等距节点，一旦节点数固定，代数精确度至多为（偶数阶时可达）。然而，若允许自由选取节点与求积系数，则可在节点数固定时达到最高的代数精确度。这就是高斯型求积公式的核心思想。

考虑带权函数的数值求积公式：

其中权函数，且在区间上不恒为零。共有个待定参数（个节点和个系数），因此理论上最多可使公式对次多项式精确成立（因为一个次多项式有个独立系数，与参数个数一致）。

下面证明个节点的求积公式不可能具有次代数精确度。取：

显然是次多项式，且对任意选定的互异节点，都有，从而：

但：

因为被积函数非负且不恒为零。因此求积公式对不精确成立，故代数精确度不可能达到。于是最高可能代数精确度为。

若一组节点能使上述求积公式具有次代数精确度，则称这些节点为Gauss 点，相应的求积公式称为Gauss 型求积公式。

2、Gauss 点与正交多项式的关系

Gauss 点的确定可通过正交多项式来刻画。

定理（Gauss 点的充要条件）：节点是 Gauss 点的充要条件是多项式：

与任意次数不超过的多项式在上关于权函数正交，即：

证明：

(必要性) 设是 Gauss 点，则求积公式具有次代数精确度。对任意至多次多项式，乘积的次数至多为，故公式精确成立：

因为。正交性得证。

(充分性) 设与所有至多次多项式正交。任取次数不超过的多项式，用除，得

其中的次数均不超过，且（因）。于是

由正交性，第一项为零。只需证明

对任意次数不超过的多项式成立，即求积公式对次多项式精确成立。这等价于存在系数使公式对基精确成立。这正是关于的线性方程组（系数矩阵为范德蒙德矩阵，因节点互异而可逆）：

该方程组有唯一解。因此求积公式对任意次多项式精确成立。特别地，对成立。于是

故公式具有次代数精确度，节点为 Gauss 点。定理得证。

由上述定理可知，Gauss 点正是区间上关于权函数的次正交多项式的个实根。因为正交多项式系中的次多项式与所有低次多项式正交，且其根均为实数、互异且位于区间内部。

3、求积系数的确定

一旦 Gauss 点已知，求积系数可由插值基函数确定。令：

这是次 Lagrange 插值基函数，满足。由于求积公式对（次数为）精确成立，有：

因此：

该式提供了计算求积系数的统一公式。可以证明所有（因为且不恒为零）。

4、Gauss 型求积公式的误差估计

定理（余项公式）：设在上阶连续可微，则 Gauss 型求积公式的截断误差为：

其中。

证明：构造在节点上的 Hermite 插值多项式，使其满足

该多项式的次数至多为。由 Hermite 插值余项公式（参见第五章），有

其中介于与节点之间。由于 Gauss 型求积公式具有次代数精确度，它对精确成立：

于是

因为且在区间上不恒为零，由积分中值定理，存在，使得

得证。

该余项表明，Gauss 型求积公式的收敛阶为（若区间划分），具有极高的精度。

此外，Gauss 型求积公式是数值稳定的。因为所有，且，所以由系数舍入引起的误差可被控制。

5、高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式

区间取，权函数。对应的正交多项式为 Legendre 多项式：

Legendre 多项式在上正交：

因此，次 Legendre 多项式的个零点即为 Gauss 点。求积系数可表示为：

推导如下：由求积系数公式（注意的首项系数为的倍数，这里 Legendre 多项式的首项系数为，但公式中的应为首项系数为 1 的多项式，即。不过最终系数表达式可化为上述简洁形式，利用 Legendre 多项式的性质可以证明）。常用的是 Gauss-Legendre 求积公式：

其中为的零点，由上式给出。

由一般余项公式，是首项系数为 1 的次多项式，它与 Legendre 多项式的关系为：

则：

因此 Gauss-Legendre 求积公式的误差为：

对于一般区间，可通过线性变换化为上的积分：

其中为的零点。

Gauss 型求积公式通过优化节点位置，在固定节点数下达到最高代数精确度（），其节点正是正交多项式的根，求积系数为正值，保证了数值稳定性。误差估计表明其具有高阶收敛性，特别适用于高精度要求的积分计算。在实际应用中，Gauss-Legendre 公式最为常用，其他公式则针对不同的权函数和无限区间提供了有效工具。

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