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不同类型导数（微分）的区别
下面给出关于“导数”、“偏导数”、“全微分”、“方向导数”、“向量函数导数”、“矩阵导数”、“行列式导数”这七个数学概念在定义、几何意义、作用、性质四个方面的详细说明。 一、导数 1、定义 对于实函数 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $（也可推广到复函数或更一般情形），在某点 $ x0 $ 处，导数定义...
傅里叶级数推导经典级数和
一、基本工具：Parseval 等式 设 $fx$ 是 $\pi, \pi$ 上平方可积的函数，其傅里叶级数为： $$ fx = \frac{a0}{2} + \sum{n=1}^\infty \leftan \cosnx + bn \sinnx\right $$ 则 Parseval 等式为： $$ \frac{1}{\pi}...
泰勒级数与傅里叶级数
一、泰勒级数（Taylor Series） 1. 定义 设函数 $fx$ 在某点 $x=a$ 的邻域内有无穷阶导数。若存在一个级数满足： $$ fx = \sum{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}a}{n!}x a^n, $$ 且该级数在某邻域内收敛于 $fx$，则称该级数为 $fx$ 在 $x=a$ 处的泰...
二维离散随机变量的分布
一、联合分布 Joint Distribution 1. 定义 设二维离散型随机变量$X, Y$的可能取值为$xi, yj$，其联合分布律为： $$ P\{X = xi, Y = yj\} = p{ij}, \quad i,j = 1,2,\cdots $$ 2. 性质 非负性：$p{ij} \geq 0$ 归一性：$\sum{i...
随机变量函数的分布
一、问题描述 设$X$为随机变量，已知$X$的概率分布，$Y = gX$是其函数。需要根据$X$的分布求出$Y$的分布。 二、离散型随机变量 1. 求解步骤 步骤1：列出$Y$所有可能取值$\{ yj = gxi | xi \in X\Omega \}$ 步骤2：对每个$yj$，计算概率： $$ PY=yj = \sum{xi...
全微分与复合多元函数偏导数
一、全微分 对于二元函数 $z=fx,y$，仅研究一个自变量变化时函数的性态是不够的，经常要讨论两个自变量 $x,y$ 分别有增量 $\Delta x,\Delta y$ 时，相应函数值的改变量（即全增量）： $$\Delta z=fx+\Delta x,y+\Delta yfx,y$$ 的变化情况。类似于一元函数的微分，下面以二元函数为例...
各类刚体的转动惯量
1. 转轴通过圆环中心与环面垂直的转动惯量 !https://laoguantx.top/article/物理/普通物理学/1.png $$ I = mR^2 $$ 推导： 在圆环上取一质元，其质量为 $dm = \lambda dl$，其中 $\lambda = \frac{m}{2\pi R}$ 为线密度，$dl$ 为圆弧元。...
Bessel不等式与Parseval等式
一、误差公式 误差公式描述了函数 $fx$ 与其傅里叶级数 $k$ 阶三角级数部分和 $Skx$ 之间的逼近误差能量。具体公式为： $$ Ek = \int{\pi}^{\pi} \left| fx Skx \right|^2 \, dx = \int{\pi}^{\pi} |fx|^2 \, dx \pi \left \frac{a0^2}{...
变质量运动物体的动量守恒定律
我们考虑一个水平光滑轨道上运动的小车，初始质量为 $m$，速度为 $v$。小车在运动过程中不断加入沙子推导其动量守恒定律。 一、情景设定（无外力情况） 初始状态：小车质量为 $m$，速度为 $v$。 微小时间 $\Delta t$ 内：小车吸入质量为 $\Delta m$ ，速度为 $u$ 的沙子，速度变为 $v + \Delta v...
抛体运动与圆周运动
一、抛体运动 1. 运动分解与受力分析 假设条件：忽略空气阻力，仅受重力 $\vec{F} = mg\hat{j}$，初速度 $\vec{v}0 = v0 \cos\theta0 \hat{i} + v0 \sin\theta0 \hat{j}$。 牛顿第二定律 $$ \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = g\ha...