一、分离变量法的理论基础

1、线性问题的叠加原理

非齐次线性微分方程的解可以分解成一个非齐次方程的特解与多个齐次微分方程解的叠加；对于非齐次的边界条件，也可以把它拆分成一个特定非齐次边界条件与多个齐次边界条件的叠加。把拆分后的微分方程与边界条件进行组合，从而可以把原来比较复杂、难以求解的问题简化为一些比较容易、易于求解问题的叠加。

2、线性问题形式上的变量分离

将进行变量分离：

这样做的目的是通过引入一些特定的参数（例如特征值），把偏微分方程转化为常微分方程的问题。

二、齐次方程的分离变量法

1、齐次方程和齐次边界条件的分离变量法

(1) 问题求解

与行波法不同，行波法研究的是无限长的弦，而这里是研究有限长度的两端固定均匀弦的自由振动。自由振动的方程式齐次的：

边界条件也是齐次的：

初始条件是非齐次的：

根据叠加原理，该齐次方程的解可以分解成一系列满足齐次边界条件与齐次方程解的叠加：

根据叠加原理，每一个解都满足齐次的微分方程和边界条件，但是不满足非齐次的初始条件。简单起见，先省去下标，研究每一个解，对于每一个解可以表示成分离变量形式：

把该解代入到齐次的微分方程：

回代后的微分方程为：

整理方程，使方程左边与无关，右边与无关：

在上式中，若是想要方程两边的函数值都相等，由于没有关系，所以它们的值应当都等于一个相同的常数，其中为一个待定的常数，也就是说：

考虑到边界条件（两端固定）也是齐次的：

对于任意的都成立，则：

而，否则原方程为零解，故：

因此，对于函数，必须满足常微分方程的初值问题：

我们把上式这种应用分离变量后得到的微分方程和相应的边界条件成为相应原来偏微分方程初值问题的本征值问题。使得该本征值问题有非零解的常数称为本征值（或特征值），相应的解称为本征函数（或特征函数）

如果，根据常微分方程的求解方法：

将边界条件代入后，得到两个线性代数方程，发现，意味着，该讨论无意义，故无意义。

如果，常微分方程求解为：

代入边界条件后，同样发现，故无意义。

所以，，为了书写方便，记，求解得到：

将边界条件代入，得：

要求有非零解，必须，那么只有：

解得：

这样的解（本征方程）为：

该解满足齐次方程和齐次边界条件。现在我们得到了的表达式以及的值：

把相应的代入到的微分方程：

使用常微分方程解法求解得到的表达式：

也就是说，与有关的解为：

该解称为本征振动，由求解过程可知，本征值和本征函数与边界条件密切相关。显然，这个形式的解满足相应的齐次方程和齐次的边界条件，由于方程和边界条件都是线性，这些解的叠加也满足原来的齐次方程和齐次的边界条件。

上式中的系数需要根据初始条件来确定。由于每个驻波（本征振动）都满足齐次方程和齐次边界条件，根据叠加原理，假设解为驻波的合成：

合成后的解要满足初始条件：

因此有：

联系傅里叶正弦级数展开，或者利用傅里叶正弦级数的正交性，根据傅里叶级数展开的唯一性，得到：：

到此，我们得到了最终的解：

该解称为古典解。由于级数的系数由所确定，因此只有当满足傅里叶级数展开的收敛条件时，解才收敛。

(2) 物理意义

我们来看本征振动问题的物理意义，对于：

括号内的内容表示每一个点的谐振，括号外的内容表示每个点的振幅。每一个质点（固定）作振幅不等的简谐运动，每个点的振幅与位置有关。其中振幅为零的点称为节点或波节，振幅最大的点则位于两个节点之间，我们称之为腹点或波腹。节点静止不动，所以波形没有传播（叫驻波）。相邻两个节点之间的距离称为半波长。的驻波称为基波，其他的驻波称为次谐波。两个波长、周期、频率和波速皆相同的正弦波相向行进干涉而成的合成波 ，均可产生这个现象，其结果是在一系列固定的位置产生波腹（即振动加强点）和波节（即振动减弱点） 。

2、齐次方程和齐次边界条件的分离变量法的应用

(1) 两端自由的有限长细长杆的振动问题

该问题的定解问题为：

假设分离变量的形式为：

代入到泛定方程和边界条件能够得到本征值为：

和前面的推导方法相同进行分类讨论，得出只有当时，得出：

得到本征方程：

对应的解为：

因此原方程的解为：

代入初始条件得到：

(2) 有限长细长杆的热传导问题

有限长杆的热传导问题。长为细长杆， 侧面绝热，左端温度为零，右端与温度为零的介质进行自由传热。已知初始温度分布为。该问题可以简化为一维杆的传热问题，定解问题为：

假设分离变量形式的解为：

分离变量形式的解代入到泛定方程中得到：

改写为：

分离变量形式的解代入到边界条件中得：

那么本征值问题为：

使用常微分方程方法求解分离变量形式的解，得到：

代入边界条件，得到：

即：

方程的解可以看成曲线与直线的交点。通过数值方法可以求出这些固有频率的值，已经对应的固有函数。当得到值后，的函数形式也可以通过解常微分方程来确定：

其中的，相应的：

上式应当满足初始条件：

使用三角函数正交性的方法：

得到系数为：

(3) 圆板区域热传导的稳定分布

这个问题使用的是圆域内二维拉普拉斯方程的分离变量法：

圆形区域， 采用极坐标比较合适。在极坐标中，拉普拉斯方程为：

化简为：

应用分离变量法：

对应的解为：

化简得到：

等式左边是的函数，等式右边是的函数，只有他们等于常数的时候才相等，那么可以写为：

这里应当注意，需要满足周期边界条件：

并且满足自然边界条件：

于是即可得到本征值问题：

要满足周期边界条件，本征值应当，求解得到本征函数为：

给定后，所要满足的常微分方程为：

这是欧拉方程，使用常微分方程方法求解，得到：

考虑到必须有限，那么，因此分离变量形式的本征解为：

根据叠加原理，原问题的解可以假设为：

该解应当满足原问题的边界条件：

代入得：

把进行傅里叶级数展开，比较前面的系数，得到：

把系数代入到级数解的表达式中，得到：

参考泊松公式相关内容，可以将上面的积分（泊松方程积分形式）求解：

(4) 矩形区域内热传导的稳态分布

矩形区域内，一边温度为，相邻一边温度给定，另外两边绝热。该问题在矩形区域内使用分离变量法：

方程齐次，与轴平行方向边界条件齐次，使用分离变量法：

代入到控制方程中：

写为：

代入到两条与平行的边界条件：

然后得到本征值问题：

求解得到本征值为：

对应的本征值函数为：

然后求解，得到：