一、曲线坐标系

1、曲线坐标系方程

设空间中有三个变量 ，它们可以唯一地确定空间中一点 。空间直角坐标系下，点 的坐标为 。如果存在三元函数：

则称 为空间的曲线坐标， 为点 的曲线坐标。曲线坐标系的坐标方程就是上面这三条方程：

当 固定， 变化时，得到一条空间曲线，称为 坐标曲线。同理，分别固定另外两组变量，、 变化时分别得到 和 坐标曲线。以 坐标曲线为例，其切向量为：

其中， 为点 的矢径：

一般地，三条坐标曲线的切向量分别为：

切向量 的模称为拉梅系数 ：

单位基向量定义为：

单位基向量 分别沿着 坐标曲线的切向量方向，且模长为 。如果三个单位基向量相互垂直，我们称为正交曲线坐标系。

2、弧段、面元、体积元

在曲线坐标系中，任意弧段指的是坐标曲线上的一小段曲线。假设我们考虑 坐标曲线（即 固定， 变化），任意取 的两个值 和 ，此时空间中的点 的位置矢量为：

而相邻点 的位置矢量为：

这两点之间的曲线段就称为坐标曲线上的任意弧段。同理，也可以定义 或 坐标曲线上的任意弧段。设 为某一坐标曲线的参数，其他两个坐标固定， 为参数的微小变化，则对应的空间微元弧段为：

弧段的长度为

对于任意曲线（不一定是坐标曲线），其微元弧长为：

或者记为：

其中

为度规张量。

对于正交曲线坐标系，（），则

考虑 和 变化、 固定，形成一小块曲面（称为 - 曲面），其面元 的向量形式为：

面元的大小（数量值）为：

如果该坐标系是正交曲线坐标系，即三个基矢互相正交，则：

其中 分别为对应坐标的拉梅系数。如果面元是 - 平面或 - 平面，选取对应的两个坐标即可。

三个坐标同时变化时，微元体积为：

对于正交曲线坐标系，因为三基矢正交，所以

3、梯度、散度、旋度

梯度 的定义是：

也梯度可表示为：

存在下面两个梯度恒等式：

散度在物理上与通量有关系，对应高斯定理：

其中为向量，其散度为：

其中 是 在 方向的分量。

旋度在物理上与环量有关系，对应斯托克斯公式：

因此，得到旋度：

4、拉普拉斯算子

拉普拉斯算子为：

二、直角坐标系

在直角坐标系下，曲线坐标系的相关参数为：

三、球坐标系

• 曲线坐标系相关参数：

• 弧段长度

• - 面（ 固定）面元：

• - 面（ 固定）面元：

• - 面（ 固定）面元：

• 体积元：

• 梯度：

• 散度：

• 旋度：

• 拉普拉斯算子：

四、柱坐标系

• 曲线坐标系相关系数：

• 弧段长度：

• - 面（ 固定）面元：

• - 面（ 固定）面元：

• - 面（ 固定）面元：

• 体积元：

• 梯度：

• 散度：

• 旋度：

• 拉普拉斯算子：