一、留数定理

1、留数

如果复变函数有一个孤立奇点，在的去心邻域上是解析。根据洛朗级数展开定理，在以为圆心、内半径足够小的圆环域上，可以展为洛朗级数：

在洛朗级数的收敛环中取任意一个包围的小回路，计算回路积分：

根据这个例子，可得：

所以可以得到结论，对于任意包围了的简单封闭曲线，如果区域内没有其他的奇点，那么，据柯西定理：

从在复变函数的积分来看，洛朗级数展开中系数有特别重要的地位。在复变函数中被称为

函数在点的留数（或残数），通常记作，。

2、柯西留数定理

设函数在回路 所围区域上除有限个孤立奇点外解析，在闭区域上除这些奇点外连续，则：

也就是说：沿的路径积分，等于乘上在内部所有孤立奇点留数的总和。

证明：在每个奇点附近作只包含该奇点的小回路：。每个小回路只包含一个奇点，所以：

函数在小回路外的多连通区域中解析，按照多连通区域的柯西积分定理：

3、无穷远处的留数

无穷远处的留数：如果无穷远处是的孤立奇点，我们可以找到足够大的回路，使得函数在回路外的区域内没有有限的奇点，在无穷远的邻域是解析，可以展开为洛朗级数：

在回路正向（奇点为无穷远，积分区域在外，这里是顺时针方向）的积分为：

定义无穷远处的留数：

所以有（积分区域在内，方向为逆时针方向）：

这与有限元点的留数定理结果一致。使用代换回代即可证明。

于是可以得出一个定理：函数在整个复平面上只有有限个奇点，除此外全部解析，而且无穷远处 也是的孤立奇点，那么函数在所有奇点（包括无穷远处）处的留数之和为零。即：

4、留数计算

(1) 一阶极点处的留数

如果 是 的一阶极点，那么 在 附近的洛朗展开为：

因此：

也就是说：

对于有理函数： 其中 在 解析， 是 的一阶零点，那么：

更一般： 其中 在 解析，那么

(2) 阶极点的留数

如果是的阶极点, 那么在附近的洛朗展开为：

如果时右边为非零的有限值, 说明是阶极点。两边对求阶导数, 那么：

从而可以得到：

(3) 函数直接展开法

对于高阶极点的留数，有时候利用函数直接展开法更为有效

那么泰勒展开式中的次项的系数就是函数的留数。

5、极点次数判断定理

极点次数的判断定理：为处的孤立奇点，那么为处的极级点的充要条件是存在一个在处非零的解析函数，，且在的去心邻域中可以表示成。

如果，为处的阶零点，为处的阶零点

二、应用留数定理计算实变函数定积分

1、类型一：

作变换，可以把 积分路径从实变函数中的，变换到复平面上的单位圆。此时有变换关系：

回代到原积分中：

根据留数定理：

也就是将在单位圆内的所有留数之和乘以。

2、类型二：

为了应用柯西留数定理来求得等式右边的积分，我们人为地在复平面上构造一个如图所示的围道（封闭的路径），包括一个半圆 及实轴上的一条直线。根据柯西留数定理：

在实轴上 ，， 指实轴上从 到 的路径。 是封闭曲线所围成的区域内的奇点。

当半径 足够大后，在上半平面上的所有奇点都可以包围在封闭路径之中，也就是说，上面等式中右边部分的值将固定不变，这时，如果时左边第一项积分值趋于一个固定的值（有极限），那么我们就可以求得相应的反常积分值。

下面我们讨论在何时满足

• 函数是有理函数，（ 指多项式的最高幂次），上式成立。

• 当半径时，（一致趋向于零），上式也成立。

证明：利用不等式：

是多项式当足够大时：

当半径时，（一致趋于零），上式也成立。

更一般地，可以推导大圆弧定理：在的邻域内连续，，当时，一致趋向于，那么：

证明：

记

一致趋向于，，当：

由于的任意性：

大圆弧定理得证：

3、类型三

对于这类积分，指数函数可以利用欧拉公式分解为两部分：

所以我们可以通过计算类型三所示积分的值，取其实部或者虚部来获得上述两种实变函数的定积分。

首先我们需要使用 Jordan（约当）引理：，在上半平面内当时， 一致地趋向于，那么：

该引理的证明不做要求。

和第二类问题类似，我们需要构造一个围道，该围道由实轴和一个半圆所组成（至于半圆位于上半平面还是下半平面，需要根据的值来定）