插值法 - 老官童鞋gogo的博客

在生产实践中，由于给出的通常是一批离散的样点，为了满足设计和理论分析的需要，我们需要寻求函数的分析表达式。解决这类问题主要有两类方法：一类是要求近似函数严格通过给定的已知样点，这称为插值法；另一类则不要求严格通过已知点，只要求总偏差最小，称为曲线拟合法。本文详细梳理插值法（特别是多项式插值）的理论、公式推导及误差分析。

一、拉格朗日 (Lagrange) 插值

1、多项式插值原理

代数插值的基本问题是：已知函数在区间上的个互异点处的函数值为，需要寻求一个至多为次的多项式：

使其满足插值条件：

将这个条件代入，得到关于待定系数的线性方程组：

该方程组的系数矩阵的行列式为范德蒙德 (Vandermonde) 行列式：

由于互不相同，该行列式的值不为零，从而保证了方程组存在唯一解。这证明了满足插值条件的次多项式是存在且唯一的。

但是，求解行列式的时间复杂度是阶乘级别的，实际情况下难以适用。

2、插值多项式的误差估计

设插值多项式与被插函数的截断误差（插值余项）为。下面有如下定理：若在上次连续可导，则对于内任意点，插值余项为：

其中。

证明：

构造辅助函数：对固定点，构造关于变量的辅助函数：

显然。又因为插值条件使得，所以。因此在内至少有个零点（即）。反复应用罗尔中值定理，由于有个零点，其一阶导数至少有个零点。反复求导次，在区间内至少有一个零点，设为。

由于是至多次多项式，。同时，是最高次系数为 1 的次多项式，故。代入并化简：

解得。该式对于节点同样成立。

3、拉格朗日 (Lagrange) 插值基函数

为了避免直接求解线性方程组的高昂计算量，我们采用基函数线性组合的思路。定义 Lagrange 插值基函数，要求它满足：在节点处值为，在其他节点处值为：

由此推导出的表达式：

由此得到次 Lagrange 插值多项式：

由于，这严格满足插值条件。

二、牛顿 (Newton) 插值

Lagrange 插值虽然结构对称，但在增加新节点时，所有的基函数都要重新计算，很难受。Newton 插值通过引入“差商”的概念解决了这个问题。

1、差商

一阶差商定义为。阶差商是两个阶差商的差商：

差商存在以下性质：

线性性：。
函数值线性组合表示：。
对称性：改变节点顺序不改变差商的值，如。
与导数的关系：差商等于对应区间内某一点的高阶导数除以阶乘：

2、Newton 插值公式与推导

利用差商定义，我们可以不断展开函数值：

将后续展开式层层代入并消去相等部分，得到 Newton 插值公式：

其插值余项为 [cite: 275][cite_start]。由于满足多项式插值唯一性，，其次余项与拉格朗日余项完全等价。这样优化后，每增加一个节点，只需增加一项：

这极大减少了计算量。

3、差分

当插值节点是等距的（即）时，计算可进一步简化，使用差分表示差商。

向前差分：，高阶为。
向后差分：。
中心差分：。

差分可直接表示为函数值的线性组合：

差商与差分的关系为：

4、等距节点插值公式

引入变换参数，有：

Newton 向前插值公式（适用于插值点靠近区间起点的计算）：设，代入前述 Newton 公式得：

其余项为。

Newton 向后插值公式（适用于插值点靠近区间终点的计算）：设，利用向后差分可得：

其余项为，这种通过差分表计算的方法进一步优化了等距点集上的插值效率。

三、分段线性插值

1、引入及其原理

在代数插值过程中，常常通过增加插值多项式的次数来提高对函数的逼近程度，但是往往不能得到有效的结果，例如对于函数，利用阶拉格朗日插值，会得到下面的结果：

可见在绝对值比较小的时候，其你和效果较好，但是在靠外的插值节点的部分，拟合效果极差，这就是龙格（Runge）现象，直观上容易想象，如果不用多项曲线，而是将曲线的两个相邻的点用线段连接，这样得到的折线必定能较好地近似曲线。而且只要连续，节点越密，近似程度越好。由此得到启发，为提高精度，在加密节点时，可以把节点分成若干段，分段用低次多项式近似函数，这就是分段插值的思想。用折线近似曲线，相当于分段用线性插值，称为分段线性插值：

根据分段线性插值的理论直接写出的表达式如下：

类似于 Lagrange 插值多项式的构造，函数：

就是所求的分段线性插值函数。

2、代码

下面是生成图片“分段线性插值与原函数对比”图像的MATLAB代码：

1
% 1. 定义原函数 (Runge 函数)
2
f = @(x) 1 ./ (1 + x.^2);
3

4
% 2. 在 [-5, 5] 之间均匀取11个点，以进行分段线性插值
5
n = 10;
6
x_nodes = linspace(-5, 5, n + 1);
7
y_nodes = f(x_nodes);
8

9
% 3. 定义绘图区间 [-10, 10] 用于观察外推和龙格现象
10
x_plot = linspace(-10, 10, 500);
11
y_true = f(x_plot);
12

13
% 4. 计算分段线性插值结果
14
% 使用 interp1 函数进行分段线性插值，并启用 'extrap' 进行范围外推
15
y_interp = interp1(x_nodes, y_nodes, x_plot, 'linear', 'extrap');
16

17
% 5. 绘图对比
18
figure;
19
plot(x_plot, y_true, 'b-', 'LineWidth', 2); hold on;
20
plot(x_plot, y_interp, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
21
plot(x_nodes, y_nodes, 'ko', 'MarkerSize', 6, 'MarkerFaceColor', 'g');
22

23
% 图形修饰
24
title('分段线性插值与原函数对比');
25
xlabel('x');
26
ylabel('y');
27
legend('原函数 f(x) = 1/(1+x^2)', '分段线性插值', '插值节点', 'Location', 'Best');
28
grid on;
29
xlim([-10, 10]);
30
ylim([-2, 2]);

四、埃尔米特（Hermite）插值

1、问题引入与基本插值方法

对于插值函数，有时候不仅需要使其在节点处的函数值相同，还需要其实在节点处的导数与原函数导数相同，乃至是二阶或更高阶导数，这就是埃尔米特插值问题。

已知函数在个互不相同的节点处的函数值为，以及导数值，希望构造一个至多次的多项式，使得：

满足上述条件的多项式即为 Hermite 插值多项式。我们同样用插值基函数的方法求 Hermite 插值多项式。假设有两组函数，满足以下条件：均为至多次多项式；以及：

于是，Hermite 插值多项式为

该多项式满足条件，且次数不超过。根据条件，在处的函数值与导数值都为零，因此必须有因子，所以可以设：

其中为 Lagrange 插值基函数。由条件，需满足：

代入得：

解得，因此：

同理，由于在处的函数值与导数值均为，而，故可设：

代入条件式得

于是，因此

所以 Hermite 插值多项式为

2、分段三次 Hermite 插值

根据 Hermite 插值多项式，特别地，当时，有：

所以，两个节点的三次 Hermite 插值多项式为：

当节点较多时，为避免多项式次数过高而引起非节点处的偏离过大，仍采用分段插值的方法。若把节点两两分段，在每一小段上作三次 Hermite 插值，就得到一个分段三次 Hermite 插值函数，它满足：

；
在每个小区间（）上，是三次多项式。

也可以通过构造基函数给出分段三次 Hermite 插值函数的表达式。参照分段线性插值与 Hermite 插值基函数公式（5-47）和式（5-48），可得出分段三次 Hermite 插值的基函数为

分段三次 Hermite 插值函数为：

五、样条插值

前述分段线性插值和分段三次 Hermite 插值虽然在一定程度上克服了高次多项式插值的龙格现象，但分段线性插值仅保证函数连续，导数不连续；分段三次 Hermite 插值虽能保证一阶导数连续，却无法保证二阶导数连续。然而在许多工程技术问题中，如飞机机翼外形设计、内燃机凸轮曲线等，不仅要求曲线连续，还要求曲率连续，即二阶导数连续。这就引出了样条插值。

1、样条函数的概念

所谓样条（Spline），原本是工程设计中使用的一种绘图工具，它是一根富有弹性的细木条或细金属条。绘图员用压铁固定样条在若干已知点上，迫使其通过这些点，样条自然弯曲形成一条光滑曲线，称为样条曲线，且在连接点处具有连续的曲率。三次样条插值正是由此抽象而来的数学模型。数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体地说，给定区间的一个分划：

如果函数满足：

在每个小区间上，是次多项式。
在上具有阶连续导数。

则称为关于分划的次样条函数，其图形称为次样条曲线。显然，折线就是一次样条曲线。实际中最常用的是三次样条曲线，因为三次样条既能保证二阶导数连续，又不会因次数过高而产生剧烈振荡。

2、三次样条插值

利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。分段线性插值便是一次样条插值。本节重点讨论三次样条插值。已知函数在区间上的个互异节点：

处的函数值，求插值函数，使其满足：

插值条件：。
在每个小区间上，是三次多项式，记为。
在整个区间上，具有二阶连续导数，即。

则称为的三次样条插值函数。三次样条插值函数在每个小区间上是一个三次多项式，因此共有个待定系数。而插值条件给出了个方程，内部节点处的一阶、二阶导数连续各给出个方程，总计个方程，还差个条件。因此需要在区间端点处补充两个边界条件方可唯一确定。下面介绍两种常用的求解三次样条插值函数的方法：一种以节点处的二阶导数值为参，另一种以节点处的一阶导数值为参数。

3、以节点处的二阶导数值为参数的三次样条插值函数

设。由于在每个小区间上是三次多项式，故其二阶导数在该区间上是一次多项式（线性函数）。记，由线性插值公式可得：

将上式对积分两次，得：

利用插值条件，确定积分常数，整理后得到：

或者等价地写作：

对求导，得到：

或等价地：

由于在内部节点处一阶导数连续，故有：

分别计算右导数和左导数。由式（5-64），在处取右极限（此时，）：

在处取左极限（由计算，此时，）：

由连续性，得：

移项整理，将所有含的项移到左端，得：

令：

两边同乘以，即可化为：

上式称为三次样条插值的关系式，或按其力学意义称为三弯矩方程（因为在力学上代表弯矩）。该方程组含有个未知参数，但只有个方程，尚需补充两个边界条件。

(1) 第一类边界条件（给定端点处的一阶导数值）

若已知，，可得在左端点处：

移项得：

在右端点处：

移项得：

联立，得到关于的阶线性方程组，其矩阵形式为：

其中：

该方程组的系数矩阵为严格对角占优的三对角矩阵，因此存在唯一解，可用追赶法高效求解。

(2) 第二类边界条件（给定端点处的二阶导数值）

若已知，，由于，直接得到：

此时和已知，方程组中实际上只有个未知数，其矩阵形式为：

特别地，当时，称为自然边界条件，此时样条曲线在端点处呈自由状态（即端点的弯矩为零），对应的样条称为自然样条。

(3) 第三类边界条件（周期边界条件）

若是以为周期的周期函数，则要求也具有相同周期，即在端点处满足：

由可得。结合关系式与周期边界条件，可得到阶方程组：

其中：

上述三种情形下，方程组的系数矩阵均为严格对角占优矩阵，因此方程组有唯一解。将求得的代入，即得到三次样条插值函数。

4、以节点处的导数值为参数的三次样条插值函数

除了以二阶导数为参数外，也可以节点处的一阶导数值为参数来构造三次样条插值函数。

设。在每个小区间上，由分段三次 Hermite 插值公式，可表示为：

其中，。

由在内部节点处二阶导数连续，即：

对式（5-71）求二阶导数并代入连续性条件，可导出关于参数的方程组：

其中：

上称为三次样条插值的关系式，或按其几何意义称为三转角方程（因为代表曲线在节点处的斜率/转角）。

方程组含有个未知数，仅有个方程，同样需要补充两个边界条件：

第一类边界条件：直接给定，，此时未知数减少为个，得到三对角方程组。
第二类边界条件：给定，，可由式（5-71）的二阶导数在端点处的表达式导出关于和的方程，与式（5-72）联立得到三对角方程组。
第三类边界条件（周期边界条件）：，可得到阶方程组。

这些方程组的系数矩阵均非奇异，故方程组有唯一解。解出参数后代入式（5-71），即得三次样条插值函数。

关系式（三弯矩方程）和关系式（三转角方程）是求解三次样条插值函数的两种等价方法。前者以二阶导数为参数，边界条件表达直观；后者以一阶导数为参数，在已知导数信息的场景下更为直接。实际应用中，关系式更为常见，因其三对角矩阵具有良好的数值稳定性，可用追赶法高效求解。三次样条插值在保证函数值精确通过所有节点的同时，实现了阶光滑性，有效克服了高次多项式插值的龙格现象，是工程实践中应用最广泛的插值方法之一。

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