一、数学物理方程的导出

1、一维波动方程或者弦的微小横振动

(1) 物理问题

一固定长度的柔软、均匀细弦，两端拉紧（一般两端固定）。在垂直于弦线方向施加外加激励（可能在初始时刻施加，也可能是在运动过程中持续施加）让它离开原来平衡位置， 在此外加激励作用下弦将作微小的横向振动，需要找到弦上个每个点的运动方程。

(2) 问题简化

题目中提到的几处字眼：

• 柔软：只能承受轴向的载荷（弦只能承受张力，而杆能承受压力和拉力），忽略弯曲刚度（或者说弯矩）和剪切的影响，轴向载荷的方向与弦变形后的切线方向相一致。
• 轻质：不考虑重力所产生的影响。
• 均匀：单位长度的质量密度为一常数。
• 微小的横向振动：不考虑在张力作用下弦(（绳）的伸长变形（沿轴向的变形），只考虑弦（绳）上每个点的横向运动。弦（绳）的横向位移相对于弦（绳）的长度来说，是个小量。图中弦变形后的角度非常小，。

下面是问题简化后的研究示意图：

图示比较夸张，以便于画图，实际角度很小。

(3) 分析的参数与变量

用表示弦（绳）的位置，表示时刻位置处的横向位移。由于是微小的横向振动，故每个点只发生横向移动，忽略水平方向运动的影响。表示单位长度的质量，表示所分析微段的长度。

(4) 问题求解

微段水平方向（轴）的平衡：

微段垂直方向（轴）的平衡：

对于水平方向上的平衡方程，根据小变形假设：横向位移相对于弦（绳）的长度来说是小量，图中弦变形后的角度非常小。

从而：

不考虑轴向运动影响,那么弦内张力保持不变。

对于垂直方向上的平衡方程，根据小变形假设：横向位移相对于弦（绳）的长度来说是小量。

由于，则：

忽略高阶小量：

即：

设，则：

由此，得到了弦（绳）的自由振动方程。的量纲为速度量纲，可以将称为波速，即波传播的速度。

如果考虑有单位长度的外加横向力作用，即，可以得到：

化简得出强迫振动方程：

2、二维波动方程或者薄膜的微小横振动

(1) 物理问题

一张均匀张紧的轻质薄膜，离开水平位置沿垂直于水平位置的微小振动。

(2) 分析的参数与变量

用表示膜的位置，表示在时刻在位置处膜的横向位移。和弦问题一样， 根据水平方向的力平衡（任意方向），可知膜上的张力处处相同，记单位长度膜上的张力（注意是法线方向）为。

(3) 问题求解

取平面上微小单元进行受力分析，沿轴方向两对边上由张力引起的横向合力为：（泰勒展开并忽略高阶小量）

沿轴方向两对边上由张力引起的横向合力为：（泰勒展开并忽略高阶小量）

使用表示单位面积的质量，对微元体受力分析，应用牛顿第二定律，可以得到：

可以将上式改写为：

3、均匀细长杆的纵向振动

(1) 物理问题

一根均匀的细长杆，寻找沿轴向的纵向位移所应该遵循的方程。

(2) 分析的参数与变量

表示某点的位置，表示时刻位置处的纵向位移。

(3) 问题简化

横截面变形后还是横截面，横截面形状保持不变。用位移的梯度（应变）来表征变形的程度。用单位横截面上的平均载荷来表征受力情况。

(4) 问题求解

段左边的位移为，段右边的位移为，所以段的变形量为：

根据胡克定律：

其中为杆的横截面积，为材料的弹性模量（类同于弹簧的劲度系数），为杆拉压中的内力。

段左边由于变形受到 段对它的作用力为：；段右边由于变形受到段对它的作用力为：。这里为杆的横截面积，为材料的弹性模量。

根据牛顿第二定律及力的平衡关系：

得到：

其中：

具有速度量纲，也是波速。

4、扩散方程

(1) 物理问题

由于物体内部物质浓度的分布不匀，导致物质从浓度高的区域向浓度低的区域转移（我们称这种现象为扩散）。分析物体扩散所需要满足的方程。

扩散问题遵循菲克第一定律：通过单位面积例子数率（通常称为粒子流通量）与粒子浓度的梯度成正比，方向与梯度方向相反，其比例系数称为扩散系数。并遵循质量守恒定律。

(2) 分析的参数与变量

取空间中任意一个微元体（一般是一个平行六面体），根据扩散定律（菲克第一定律）和质量守恒定律，来分析浓度的变化过程。

用表示位置，表示时间，表示位置在时刻的浓度，那么，在某一个位置处，浓度的扩散流强度为：

比例系数即为扩散系数，与物质的性态、温度等有关。

(3) 问题求解

单位时间内，沿轴左边面上的流入量，沿轴右边面上的流出量，所以沿着轴方向的净流入量为：

同理获得沿着其他轴方向的净流入量，获得总的流入量：

进一步化简得到：

根据质量守恒定律，在没有源（产生物质）或者汇（吸收物质）的条件下，该区域内物质总量的变化量等于流入的物质总量。即：

如果扩散系数在空间中是一致的，那么三维的扩散方程为：

其中。

退化到一维问题（也就是只有沿一个方向的扩散），那么扩散方程为：

对于有源或者有汇的扩散问题，那么相应的扩散方程为：

5、热传导方程

(1) 物理问题

由于物体内部温度分布的不匀，导致热量从温度高的区域向温度低的区域转移（我们称这种现象为热传导）。分析热传导所需要满足的方程。

热传导问题遵循热传导定律（又称为傅里叶定律）：在导热过程中，单位时间内通过给定截面的导热量，正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积；热量传递的方向与温度升高的方向相反（和扩散问题的菲克第一定律类似）。并遵循能量守恒定律。

(2) 分析的参数与变量

与扩散问题的分析方法相同。取任意的一个微元体（一般为一个平行六面体），根据热传导定律来分析流经六面体上六个面单位时间的热能，再根据能（热）量守恒定律：通过边界进入微元体的中热量导致微元体内部的温度变化，从而得到相应的温度变化规律。

用表示时刻在处的温度，并利用热传导定律：

其中成为热流强度，即单位时间通过单位横截面积的热量，反应了热传导能力的强弱，称为热传导系数，或者说是热传导率。

(3) 问题求解

仿照扩散问题的推导过程，应用热传导定律和能（热）量守恒定律，对于没有热源（汇）的一维和三维问题，相应的热传导方程分别为：

其中为比热容，为物体的质量密度。

化为标准形式为：

其中。

6、静电场方程

(1) 物理问题

在电荷周围存在电场。电荷和电荷之间有力的作用，这个作用依靠电场来进行传递。由静电荷所产生的电场，我们称之为静电场。这里研究静电场满足的方程。

(2) 分析的参数与变量

静电场遵循的物理规律是高斯定理：

表示的是闭合曲面包裹的空间中电荷量和通过闭合曲面电通量之间的关系。其中表示单位体积的电荷量，为真空介电常数。

(3) 问题求解

数学上学过高斯公式：

两个公式联立得到：

由于区域是任意选择的，所以被积函数是相等的：

由于电场是无旋场（电力线不相交，电场中任意一点的电场强度不可能有两个方向），，因此存在一个势函数，使得：

结合被积函数的相等关系，得到：

最终得到静电场的势函数满足泊松方程：

那么在无源静电场的势函数满足拉普拉斯方程：

7、稳态问题：稳定的浓度分布和稳定的温度分布

在扩散问题中，如果扩散源强度不随时间变化， ,那么当扩散时间足够长后，空间中各点的浓度将不再随时间发生变化，趋于一个稳定状态。

• 有源：

• 无源

在热传导问题中，如果热源强度不随时间变化，，那么当热传导时间足够长后，空间中各点的温度将不再随时间发生变化，趋于一个稳定状态。

• 有源

• 无源

8、声学方程

不学。

二、定解条件

对于常微分方程，我们必须给定合适的边界条件，才能求得相应的解。前面推导得到的各种偏微分方程也是一样，它们只反映了这些物理问题的共性（所要遵循的物理规律）。 对于具体的问题，必须要给定合适的定解条件，才能得到一个确定的结果，使得问题的解是存在而且唯一的。

1、初始条件

反映了系统初始时刻状态对结果的影响，必须给出整个分析区域上而不是个别点上的分布情况。

• 对于运输过程（扩散、热传导）方程中只出现时间的一阶微分，只需要初始状态条件。
• 对于振动过程（弦、膜、杆振动，声振动和声波，电磁波等波动方程），由于方程中出现了时间的二阶微分， 因此需要给定两种初始条件：初始的状态+初始的“速度”。
• 对于稳态问题，由于初始状态不影响最终的稳态分布规律，因此无需给出初始条件。

2、边界条件

一般情况下，我们所研究的对象不是孤立，而是处在一个环境之中。周围环境通过系统的边界对区域内的状态产生影响，这种影响需要用边界条件进行描述。

(1) 第一类（狄利克雷条件）

第一类条件为给定了边界上物理量所要满足的条件。

1. 细杆导热问题：比如端点的温度按已知函数发生变化。
2. 细杆振动问题：比如端点固定，。
3. 弦的振动问题：比如端点同时固定，。

(2) 第二类（纽曼条件）

第二类条件为给定物理量沿边界上外法线方向（）的导数（边界的梯度）所要满足的条件。

1. 细杆纵向振动问题：

   

   如果在右端部有一个沿着轴向的外力该外力作用在边界上，那么在右边界取一个非常小的微段，根据受力，由于很小，所以惯性力可以忽略，即：

   同样地，在左端侧进行同样的处理：

   这里外力指向轴正方向。合起来：

   如果边界自由：

2. 热传导问题：

   根据傅里叶定理，在任意位置的热流强度为：

   所以沿着边界外法线方向的热流强度为：

   边界上沿外法线的热流强度大于零，说明热量是从物体内部向外部传递。反之亦然。如果在边界上给定了沿外法线方向的热流强度，那么根据傅里叶定律得到的热流强度在边界上应该等于给定的热流强度（只是 一个数值）：

第三类（混合边界条件，罗宾边界条件）

第三类条件为给定边界上物理量与物理量沿外法线方向的方向导数之间所应该满足的关系。

1. 细长杆的纵向振动问题：

   在右边端点有一个固定的弹簧支撑，右边端点附近去一个微段，忽略惯性力，根据胡克定律可以得到：

   在左边端点有：

2. 细杆自由冷却问题：

   端部放在一个确定温度的环境中自由冷却，端部与环境之间由于存在温差有热对流，此时既不能立即确定温度，也不能立即确定温度的梯度。根据牛顿冷却定理：

   其中为热交换系数，为环境温度。

   根据热能守恒定律，边界上的热传导引起的热量变化量应该等于热交换引起的热量变化量。

   

   如果左端部放置在温度的环境中自由冷却，环境的热交换系数为。

   如果右端部放置在温度的环境中自由冷却，环境的热交换系数为。

   对于一般表面的自由冷却问题：

3、衔接（连续）条件

对于有些问题，我们所要分析的物理量在区域内某个位置可能有间断（比如有侧向集中载荷作用于振动弦的中间），或者所研究对象的物理属性发生间断（如细长杆是由两种不同截面的杆连接而成、热传导细杆中不同区域的热传导系数不同等等），此时我们无法用一个在整个区域内连续（或者光滑）的函数来表示所要研究的物理量，必须用两个或者更多的函数来分别表示不同区域的解（或者是用分段的连续函数来表示），这些函数在交界处需要满足与物理现象相对应的连续条件（值连续、导数连续等等）， 这样的连续条件我们称之为衔接条件。

1. 弦的侧向受力

   

   如图，弦在处收到一个侧向集中载荷的作用，用和来表示左右边的解，则位移连续条件为：

   力的连续条件（横向）：

2. 两细长杆的连接

   

   如图所示，细长杆由两部分连接而成，材料的参数相同，左边的横截面积为，右边的横截面积为，如果记左边的纵向位移为，右边的纵向位移为，那么这两个位移在交界处需要满足的位移连续条件为：

   同时，它们还需要满足力的连续条件：

   

3. 两材料之间的热传导

   

   如图所示，细长杆由两部分连接而成，材料的两边的热传导系数不同，那么两边需要用不同的温度函数来表示。这两个温度函数位移在交界处需要满足的温度的连续条件为：

   同时，它们还需要满足在交界面上热流强度的连续条件：

4、自然边界条件

当区域无限时，按照问题的实际意义，常要求无限远的值趋向于零；或者是在实际问题中的零位置上物理量存在并有意义，于是将结果中对应幂次项的系数设为零。这一类理论与实际结合的条件称为自然边界条件。

三、数学物理方程的分类

1、线性二阶偏微分方程

(1) 相关定义与性质

如果系数 及与无关，只是的函数或者是常数，那么该方程对于及其各阶导数来说是线性的，因此微分方程也是线性的。

记微分算子：

是线性，可以得到：

线性二阶偏微分方程中，如果自由项，称方程为齐次的，否则称为非齐次的。

(2) 定解条件

对于齐次方程：

对于非齐次方程：

(3) 叠加原理

若泛定方程和定解条件都是线性的（可以是非齐次），可以把泛定方程和定解条件分别拆成多个线性方程的合理叠加。只要各部分的解分别满足各自的泛定方程和定解条件，那么叠加后的函数可以满足原来的方程和定解条件。也就是说原来问题的解可以看成各部分解的线性叠加。利用叠加原理可以将复杂方程的解拆分成几个比较简单问题的解。

在物理上，可以理解为：几种不同原因综合所产生的效果，等于这些不同原因单独产生效果的累加。

2、两个自变量方程的分类

其中系数均为实数。

引入两个新的自变量，进行坐标变换：

这里要求坐标变换的雅可比矩阵非奇异，即可逆，保证变换是可逆的：

利用变换后的坐标，求出原方程的偏导数：

带回到原来的偏微分方程中，使用新自变量表示偏微分方程：

其中的系数为：