一、叉积

1、定义

设，是三维空间中的两个向量，则它们的差积（叉积）定义为：

2、运算法则

（1）反交换律

（2）分配律

（3）标量乘法结合律

（4）与自身叉积为零

3、算数证明

（1）反交换律证明

由定义：

而

注意到：

因此

（2）分配律证明

展开：

设，，则

的第一个分量：

同理，其他分量展开得：

即

（3）标量乘法结合律证明

同理，

（4）与自身叉积为零证明

：

即。

4、几何解释

• 差积的模为： 其中为与的夹角。
• 的方向由右手法则确定，垂直于和张成的平面。
• 的模等于以、为邻边的平行四边形的面积。

二、混合积（标量三重积）

1、定义

设为三维空间中的三个向量，混合积定义为：

或行列式形式：

2、运算法则

（1）反对称性

混合积对任意两个向量交换均变号：

（2）线性性

对任一分量线性：

对、同理。

3、算数证明

（1）反对称性证明

交换和：

同理，交换其他两个分量依然变号。

（2）线性性证明

对分量：

4、几何解释

• 的绝对值等于以为邻边的平行六面体的体积。
• 若，则三向量共面。