一、空间曲线的切线与法平面

1、曲线为参数方程表示

设空间曲线的参数方程为：

其中为参数。其切向量为：

曲线在点处的切线方程若对应，则切线的方向向量为，其参数方程为：

或对称式为：

曲线的法平面指过曲线某点且垂直于切线的平面，若切线方向向量为，则法平面的法向量也是，法平面方程为：

其中是曲线上的点。

2、曲线为一般方程表示

设空间曲线由

确定。

曲线上的切向量可以由梯度和的叉积给出：

或者使用雅可比行列式：

若为曲线上的点，则切线参数方程为：

其中为上述的切向量。

法平面是同时过且分别以和为法向量的两个平面的交集。即：

或理解为过点，且其法向量垂直于切向量的所有平面。

二、空间曲面的切平面与法线

1、曲面为一般方程表示

设空间曲面由标量函数给出。

曲面上某点的法向量为梯度向量：

曲面在点处的切平面的法向量为，其方程为：

法线为通过且方向为的直线，其参数方程为：

2、曲面为参数方程表示

设空间曲面由参数方程

给出。

在参数点处，分别计算：

则法向量为

其行列式形式为：

若为对应的点，则切平面方程为

其中。

法线过点，方向为，其参数方程为