一、基尔霍夫定律

1、相关名词

节点：三个或三个以上电路元件的连接点称为节点。

支路：连接两个结点之间的电路称为支路。

回路：电路中任一闭合路径称为回路。

网孔：电路中最简单的单孔回路内部没有支路的回路。

2、基尔霍夫电流定律（KCL）

(1) 基本运用

在任何电路中，离开（或流入）任何节点的所有支路电流的代数和在任何时刻都等于零，其本质为电流的连续型原理。数学表达式为：

在上图中，在节点处使用基尔霍夫电流定律可得：

(2) 扩展应用

在上图中，可以将红色虚线圆圈内的部分看作是一个广义节点，根据基尔霍夫定律，可以得到：

3、基尔霍夫电压定律（KVL）

在任何电路中，形成任何一个回路的所有支路沿同一循行方向电压的代数和在任何时刻都等于零。数学表达式为：

对上图回路2使用基尔霍夫电压定律可得：

元件电压参考方向与回路绕行方向一致时取正号, 相反时取负号。利用欧姆定律对KVL形式进行改写：

4、支路电流法

支路电流法是电路最基本的分析方法之一。它以支路电流为求解对象，应用基尔霍夫定律分别对节点和回路列出所需要的方程式，然后计算出各支路电流。支路电流求出后，支路电压和电路功率就很容易得到。

二、叠加定理和等效源定理

应用叠加定理与等效源定理，均要求电路必须是线性的。

1、叠加定理

叠加定理的含义是：对于一个线性电路来说，由几个独立电源共同作用所产生的某一支路电流或电压，等于各个独立电源单独作用时分别在该支路所产生的电流或电压的代数和。当某一个独立电源单独作用时，其余的独立电源应除去。电压源作短路处理，电压为零；电流源作开路处理，电流为零。

如下图所示，将一个同时含有电流源和电压源的电路分解为了两个简单电路。

对于电压源电路，有：

对于电流源电路，有：

利用叠加定理，得到：

使用叠加定理时，应当注意：

1. 不能叠加功率。
2. 受控源不是独立电源，不能单独作用。

2、等效源定理

等效源定理包括戴维南定理（对应电压源）和诺顿定理（对应电流源），是计算复杂线性网络的一种有力工具。

(1) 二端网络

一般地说，凡是具有两个接线端的部分电路，就称为二端网络。如下图，的内部为一个黑箱，在一定条件下不关注内部具体情况：

对于无源二端网络，可以求得其等效电阻：

对于有源二端网络（内部含有电源）需要使用等效电源定理。

(2) 戴维南定理

对外电路来说，一个线性有源二端网络可用一个电压源和一个电阻的串联的电路来等效，该电压源的电压等于此有源二端网络的开路电压，串联电阻等于此有源二端网络除去独立电源后在其端口处的等效电阻。这个电压源和电阻串联的等效电路称为戴维南等效电路。

(3) 诺顿定理

对外电路来说，一个线性有源二端网络可用一个电流源和一个电阻的并联的电路来等效，该电流源的电流等于此有源二端网络的短路电流, 并联电阻等于此有源二端网络除去独立电源后在其端口处的等效电阻。

(4) 等效电源定理的使用

使用等效电源定理时应当注意：

1. 被等效的二端网络必须是线性的。
2. 二端网络与外电路之间没有耦合关系

当网络中含有受控源时，除独立源后，受控源仍保留在网络中，这时不可以用电阻串并联方法简化的计算等效电阻，但是可以使用另外两种方法。

三、正弦交流电路

1、概述

若一个电流(电压)是时间的周期性函数，且在一个周期内平均值等于零，则这个电流（电压）称为交流电流（电压）。交流电流（电压）的大小方向时刻都在变化在交流电路中，正弦量的参考方向，是指正半周时的方向。若一个电路中，各处的电流、电压均按正弦规律变化则该电路称为正弦交流电路。

随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦交流电，可以表示为：

为最大值，为角频率，为初相位，三者为正弦量的三要素。其他名词解释与物理中的定义相同。

设为相位差，相位差是反映两个同频率正弦量相互关系的重要物理量。存在以下特殊关系：

1. 当 时，称 与 同相。
2. 当 时，称 超前于 或者说 滞后于 。
3. 当 时，称 与 反相。
4. 若 ，称 与 相位正交。

瞬时值和最大值都是表征正弦量大小的，但使用较少，通常采用有效值来表示正弦量的大小。有效值是从电流热效应的角度规定的。设交流电流 和直流电流 分别通过阻值相同的电阻 ，在一个周期 时间内产生的热量相等，则有热量相等的关系：

两边除以 ，得到：

因此定义交流电流的有效值（均方根值）为

对正弦电流 ，代入上式并作恒等变形：

由于 在区间 上关于其周期积分为零（ 为原信号周期， 对应的周期为 ，在 上积分为整数个周期），所以该余项为零，得：

于是正弦电流的有效值为（即方均根值）：

对正弦电压同理，若 ，则其有效值为：

2、正弦量的相量表示法

使用三角函数表示正弦量时运算繁琐，可改使用复数表示，复数的计算参考：[复变函数](复变函数 - 老官童鞋gogo的博客)。

把这种仅反映正弦量大小和初相位的有向线段称为相量，其图形为相量图，符号为：，在实际应用中，正弦量的大小一般采用有效值表示，其表示符号为，满足：

其中为虚数单位。

3、电阻、电感、电容元件上电压与电流关系的相量形式

(1) 电阻

电流相量为：

根据欧姆定律，电阻两端的电压相量为：

为同频率同相位正弦量。其瞬时值、有效值、相量均服从欧姆定律。

(2) 电感

设电感元件上流过的电流为 ，则电感两端的电压为：

式中：

因此 与 是同频率的正弦量（电压超前电流 ）。电流相量与电压相量表示：

其中感抗：

当电流的频率为零即直流时，感抗为零，故电感在直流稳态时相当于短路。

(3) 电容

设电容元件上流过的电流为 ，则电容两端的电压为：

式中：

因此在频率为 的正弦稳态下，电压 与电流 同频，电压相对电流滞后 。用相量表示：

于是电容的容抗为：

4、简单正弦交流电路的计算

(1) 基尔霍夫定律的相量形式

对于KCL表达式，设为同频率正弦量，可以推导：

故KCL的相量形式为：

同理可得KVL的相量形式：

(2) 阻抗（复阻抗）

RLC串联电路中电压和电流之间的的关系右图，外加电压，电路中的电流为，元件上的电压分别为。

根据KVL可得：

其相量形式为

式中为复阻抗，单位为欧姆，为电抗。复阻抗的模为阻抗：

其幅角为阻抗角，有：

即：电压与电流的有效值之比等于阻抗，电压与电流之间的相位差等于阻抗角。

当，表示滞后于，电路为电感性；当，表示超前于，电路为电容性；当，表示与同相位，电路为电阻性，处于谐振状态。

(3) 阻抗的串联与并联

对于串联电路，有：

对于并联电路，有：

其中：

5、交流电路的功率

(1) 瞬时功率

电路在某一瞬间吸收或放出的功率，称为瞬时功率，设无源二端网络的电流和电压分别为：

则电路的瞬时输入功率为：

当，电路性质表现为电阻性，；当，电路性质表现为电感性，；当，电路性质表现为电容性，。电容性电路和电感性电路的功率随时间积分在一个周期内为。

(2) 有功功率、无功功率与视在功率

电路在电流变化一个周期内负载吸收功率的平均值称为平均功率，对于正弦电路，其平均功率：

平均功率也叫有功功率，公式中为功率因数，为功率因数角。

电路中的平均功率为电阻所消耗的功率，可以理解为或者。

在第一部分中推导出的公式：

公式中第一项反映电阻所消耗的瞬时功率，第二项反映储能元件与电源的能量交换。设：

即：

表示无功功率。设表示视在功率，那么的关系为直角三角形，与阻抗三角形相似：

(3) 功率因数的提高

电源设备的容量为，负载消耗的有功功率为，因此要提高电源设备的利用率，就要求提高功率因数。

提高功率因数的原则，是在不改变负载工作条件下，减小电压与线电流间的相位差，增加电容元件（其无功功率是负的，可与电感正的无功功率相互补偿），因工业是设备多为感性，所以多使用并联。

6、RLC电路中的谐振

(1) 串联谐振

在RLC电路中，当时，电路中的感抗和容抗相互抵消，电流与电压同相，电路呈电阻性，这种工作状态称为串联谐振。设串联谐振时的频率为：

则：

解得：

调整中的任何一个量，都能产生串联谐振，电路图与相量图如图所示：

串联谐振时的感抗或容抗称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即：

定义品质因数：

串联谐振时电路存在如下特点：

1. 复阻抗的模最小，电压一定时，电流的有效值最大，称为串联谐振电流。
2. ，两者相互抵消，故串联谐振又称为电压谐振。

在串联谐振情况下，计算电流，并作出图像：

当或时，，设，为通频带，设为相对同频带，可见品质因数越高，通频带越窄，电路的选择性越好。

(2) 并联谐振

电感线圈与电容器并联，当端电压与电流同相位时，电路并联谐振。

设并联谐振频率为，则有：

当时，。

电路图与相量图如下：

并联谐振时电路存在以下特点：

1. 等效阻抗较大，且具有纯电阻性质：

2. 电路中的总电流很小。

四、三相交流电路

1、三相交流电源

三相电源由三个幅值相等、频率相同、相位互差的单相交流电源构成。三相电路是指由三相电源构成的电路。

通常，电厂发出的电力是经过输/配电系统到达用户。

对用户而言，三相电源来自变压器二次侧的三个绕组：

图中为三个绕组的始端，为三个绕组的末端，三个绕组末端连接在一起，便成星形联结。该点称为中性点或零点，引出线为中性线N，通常接地，故称零线。三个绕组始端引出线称为相线或端线，又称火线，分别用字母​表示。引出中性线的电源称为三相四线制电源，不引出中性线的供电方式，称为三相三线制。三相四线制电源中，各相线与中性线之间的电压，称为相电压，相线与相线之间的电压称为线电压。

三相电源相电压瞬时表达式为：

为相电压的有效值。相序是指每相电压出现最大值的次序。根据三相电源的图像，可知其相序为。当三相电压的幅值相同，且各相之间的相位差均为时，称为对称三相电压。

线电压和相电压之间的关系为：

其相量图如图所示，根据几何关系得：

三个线电压有效值均为相电压的倍，即，相位超前于对应相电压，线电压也是对称的。