一、基本工具：Parseval 等式

设 是 上平方可积的函数，其傅里叶级数为：

则 Parseval 等式为：

二、推导

1. 设函数 ，定义在 ，并延拓为奇函数，周期为

该函数是奇函数 ⇒ 傅里叶级数只有正弦项：

其中系数为：

所以展开式为：

2. 应用 Parseval 等式：

左边为：

右边为：

令左右相等：

解得：

三、推导

1. 设函数 ，定义在 ，为偶函数，展开为余弦级数

由于 是偶函数 ⇒ 只有余弦项：

计算：

• 常数项：

• 余弦系数：

此积分结果为（标准结果）：

所以：

2. 应用 Parseval 等式

左边：

右边为：

代入 ，，得：

化简：

两边减去 ：

所以：

四、关于 的说明

这个结果（即 Apéry 常数）是：

但不像 和 ，它不能由傅里叶级数直接表示出封闭形式，直到1978 年，Roger Apéry 才证明了它是无理数。

所以我们常通过数值方法或更高级的函数（如黎曼 zeta 函数）研究它。