一、定义

代数系统称为群，如果：

0. 运算封闭性。

1. 运算满足结合律，即

2. 关于运算存在单位元，即，使 ，有

3. 中每个元素关于都可逆，即使得 （单位元），并称为可逆元，为的逆元，记作.

是一个群，也说关于构成群。如果运算还满足交换律，即，有，则称为交换群，也称Abel群。

当适合条件1时称之为半群。所以说，半群是一个带有结合律的二元运算的非空集合。

当适合条件1和2时，称之为含幺半群。

如果群的子集关于的运算也构成群，则称为的子群，记作。

例1 判断下面是否为半群。

4. 向量叉乘

解

1. 是

2. 不是，此中乘法不构成半群，运算不封闭。

3. 多项式加法不封闭，例如两者互为相反数。

4. 不是。