一、求平面图形的面积

求曲线（均连续），围成的平面图形面积，为：

二、求夹在两平面间的立体的体积

设为一空间立体，它夹在垂直于轴的两平面之间，我们称为位于上的空间立体。在区间上任取一点处，做垂直于轴的平面，它截得立体的截面面积显然是的函数，设为连续函数，记为，，称为空间立体的界面面积函数。那么该立体的体积为：

如果要求连续曲线，轴及直线所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积，那么就把旋转体看成夹在两平行平面之间，那么在上的任意一点处做#平行两底面的平面与立体相截，截面面积为：

代入上面体积公式，得：

如果要求连续曲线，直线所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积，那么就在上的任意一点处，取出以长度为半径的圆柱面与立体相截，截面面积为：

将该柱体分为无数个很薄的空心柱体，厚度为，由于厚度很薄，那么认为内外圆柱面面积相等，为，得到该部分的体积：

3、计算平面曲线弧长

设是平面曲线弧上的两个端点，在上依次取点，做折线，以记此折线的长，则：，记，若存在，且此极限与曲线弧长上点的取法无关，则该曲线是可求长的。 若参数方程为

则弧长为：

若曲线方程为

则弧长为：

若曲线方程为

则弧长为：

若极坐标方程为

则弧长为：

同时还有弧长的微分公式：

四、求旋转体的侧面面积

由连续曲线，轴及直线所围平面图形绕轴旋转所形成的旋转体的侧面面积，可以看做是无数小区间的侧面积，而可以看成是上底半径为，下底半径为，母线为曲线弧长的圆台的侧面积，因此 得到的计算公式：

那么计算积分为：