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各类积分的定义及表达
一、不定积分（Indefinite Integral） 数学定义： $$ \int fx\,\mathrm{d}x = Fx + C,\quad \text{其中 } F'x = fx $$ 通俗解释： 找到一个函数，其导数为已知函数 $fx$，即反导数。 二、定积分（Definite Integral） 数学定义：...
柯尼希定理 (König's Theorem)
1、定理内容 刚体系统的总动能$K$等于质心平动能$\frac{1}{2}Mv{cm}^2$与各质点相对质心的动能$K'$之和： $$ K = \frac{1}{2}Mv{cm}^2 + K' $$ 2、证明过程 1. 坐标系设定： 实验室系：$\vec{r}i$ 质心系：$\vec{r}i = \vec{r}{...
平行轴定理与垂直轴定理
一、平行轴定理 Parallel Axis Theorem 1、定理内容 刚体关于任意轴的转动惯量$I$，等于关于通过质心的平行轴的转动惯量$I{cm}$加上刚体质量$M$与两轴间距离$d$平方的乘积： $$ I = I{cm} + Md^2 $$ 2、证明过程 1. 坐标系设定： 设质心轴为$z'$轴，任意平行轴为...
常微分方程求解（3）
本篇文章讨论几种特殊形式的二阶微分方程，他们可以经过适当的变量替换降阶为一阶微分方程，称为可降阶的二阶微分方程，这里所用的一些处理方法，对于高阶方程也适用。下面讨论三种情况下的求解方法。 一、$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=fx$型的微分方程 对于标题指出的这类方程，只需积分两次，就能求得解。积分一次得...
大数定律及相关概率不等式与收敛概念
一、依概率收敛（Convergence in Probability） 严谨定义： 设 $\{Xn\}$ 是一列随机变量，$X$ 是某个随机变量。如果对任意的 $\varepsilon 0$，都有 $$ \lim{n \to \infty} P|Xn X| \varepsilon = 0, $$ 则称 $Xn$ 依概率收敛于 $X$...
线性微分方程解的一般理论
一、线性微分方程 1、方程形式 我们将未知函数 $y$ 及其导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$ 是一次式的 $n$ 阶微分方程，称为线性微分方程。这是在应用中经常遇到的一类方程，其一般形式是： $$ \frac{\...
常微分方程求解（2）
一、全微分方程定义与性质 我们将一阶方程改写为对称的形式： $$ Mx, y\mathrm{d}x + Nx, y\mathrm{d}y = 0 $$ 如果上式的左边恰好是某一个二元函数 $ux, y$ 的全微分，即： $$ Mx, y\mathrm{d}x + Nx, y\mathrm{d}y = \mathrm{d}ux, y $$ ...
常微分方程求解（1）
一般，在一个（组）方程中，如果未知量是一个（组）函数，而且该方程中含有此未知函数的导数，则称这种方程为微分方程（组），如果在微分方程里，出现的未知函数是单个自变量的函数，我们称这一类微分方程为常微分方程。下面通过几篇文章，推导各种常微分方程的求解方法。 一、可分离变量方程 我们首先讨论已解出导数的一阶微分方程的一种特殊形式 $$ \fr...
协方差和相关系数
一、协方差 1、协方差的定义 回想数学期望的性质之一，对于相互独立的随机变量$X$和$Y$，当其数学期望都存在时，有$EXY=EXEY$，而此式等价于： $$ EXEXYEY= 0\ $$ 那么当$EXEXYEY\neq0$时，$X$和$Y$一定不独立，也就是它们之间存在某种相依关系。因此我们认为$EXEXYEY$可以在一定程度上...
方差
一、方差的定义与性质 方差是对随机变量取值离散程度的度量。 离散型随机变量 $X$ 的方差定义为 $$ \mathrm{Var}X = E\biglX \mu^2\bigr = \sumk xk \mu^2 pk $$ 连续型随机变量 $X$ 的方差定义为 $$ \mathrm{Var}X = E\biglX \m...