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流体运动描述的两种方法
流体运动的描述主要有两种基本方法： 拉格朗日方法（Lagrangian Description）：跟踪流体中各个微小粒子的运动，描述粒子在随时间演化过程中的位置、速度和加速度。 欧拉方法（Eulerian Description）：在固定的空间控制体上描述流体的各种物理量（如速度、密度、压强等）随时间的变化。 下面分别对这两种方法进行详细推...
伯努利方程
伯努利方程描述了理想流体在稳态、不可压、无粘等条件下沿流线的能量守恒关系，其数学形式为 $$ \frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gz = \text{常数}, $$ 其中 $p$ 为流体压强 $\rho$ 为流体密度 $v$ 为流体速度 $z$ 为高度（或任意参考坐标系中的位移）...
二元随机变量函数分布通解公式推导
设 $X,Y$ 为二元随机变量，其联合密度函数为 $f{X,Y}x,y$（对于离散变量则讨论概率函数），下列公式给出不同变换函数 $Z=gX,Y$ 的分布推导方法。下面推导过程都假设 $X,Y$ 不是相互独立的，如果独立的话，可以进行下述化简： $$ F{X,Y}x,y=FXx+FYy $$ 一、线性变换：$Z=aX+bY$ ...
证明二元函数某点极限存在、连续、可偏导、可微以及偏导数连续的方法
一、极限存在 证明 $fx,y$ 在 $a,b$ 处的极限存在，需要证明存在常数 $L$，满足 $$ \lim{x,y\to a,b} fx,y = L, $$ 即利用 $\epsilon$$\delta$ 定义证明 $$ \forall \epsilon 0,\, \exists \delta 0,\quad \text{使得...
概率论中的卷积公式
在概率论中，卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法，通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应，通常应用于连续型和离散型随机变量。 一、连续型随机变量的卷积 设 $X$ 和 $Y$ 为两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度函数分别为 $fXx$ 和 $fYy$。那么随机变量 $Z = X + Y$ 的概率密度...
二元函数的重极限和累次极限
在讨论二维函数极限问题时，“重极限”和“累次极限”是两个常见的概念。 一、重极限（双变量极限） 设 $fx,y$ 是定义在某区域内的函数，我们说 $$ \lim{x,y \to x0,y0} fx,y = L $$ 的含义是：对于任意给定的 $\varepsilon0$，存在 $\delta0$ 使得当 $$ 0<\sq...
二元函数的圆邻域与方邻域
在二维欧几里得空间中，我们常常用邻域来描述一个点周围的“微小区域”。对于一个点 $x0, y0 \in \mathbb{R}^2$，两种常见的邻域是圆邻域和方邻域。下面我们详细讨论它们的定义、公式推导及两者之间的关系。 一、定义与基本公式 1、圆邻域（开圆盘） 圆邻域使用欧几里得距离，也称为 $L^2$ 范数。对于给定半径 $r...
不同类型导数（微分）的区别
下面给出关于“导数”、“偏导数”、“全微分”、“方向导数”、“向量函数导数”、“矩阵导数”、“行列式导数”这七个数学概念在定义、几何意义、作用、性质四个方面的详细说明。 一、导数 1、定义 对于实函数 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $（也可推广到复函数或更一般情形），在某点 $ x0 $ 处，导数定义...
傅里叶级数推导经典级数和
一、基本工具：Parseval 等式 设 $fx$ 是 $\pi, \pi$ 上平方可积的函数，其傅里叶级数为： $$ fx = \frac{a0}{2} + \sum{n=1}^\infty \leftan \cosnx + bn \sinnx\right $$ 则 Parseval 等式为： $$ \frac{1}{\pi}...
泰勒级数与傅里叶级数
一、泰勒级数（Taylor Series） 1. 定义 设函数 $fx$ 在某点 $x=a$ 的邻域内有无穷阶导数。若存在一个级数满足： $$ fx = \sum{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}a}{n!}x a^n, $$ 且该级数在某邻域内收敛于 $fx$，则称该级数为 $fx$ 在 $x=a$ 处的泰...