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证明二元函数某点极限存在、连续、可偏导、可微以及偏导数连续的方法
一、极限存在 证明 $fx,y$ 在 $a,b$ 处的极限存在，需要证明存在常数 $L$，满足 $$ \lim{x,y\to a,b} fx,y = L, $$ 即利用 $\epsilon$$\delta$ 定义证明 $$ \forall \epsilon 0,\, \exists \delta 0,\quad \text{使得...
概率论中的卷积公式
在概率论中，卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法，通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应，通常应用于连续型和离散型随机变量。 一、连续型随机变量的卷积 设 $X$ 和 $Y$ 为两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度函数分别为 $fXx$ 和 $fYy$。那么随机变量 $Z = X + Y$ 的概率密度...
二元函数的重极限和累次极限
在讨论二维函数极限问题时，“重极限”和“累次极限”是两个常见的概念。 一、重极限（双变量极限） 设 $fx,y$ 是定义在某区域内的函数，我们说 $$ \lim{x,y \to x0,y0} fx,y = L $$ 的含义是：对于任意给定的 $\varepsilon0$，存在 $\delta0$ 使得当 $$ 0<\sq...
二元函数的圆邻域与方邻域
在二维欧几里得空间中，我们常常用邻域来描述一个点周围的“微小区域”。对于一个点 $x0, y0 \in \mathbb{R}^2$，两种常见的邻域是圆邻域和方邻域。下面我们详细讨论它们的定义、公式推导及两者之间的关系。 一、定义与基本公式 1、圆邻域（开圆盘） 圆邻域使用欧几里得距离，也称为 $L^2$ 范数。对于给定半径 $r...
不同类型导数（微分）的区别
下面给出关于“导数”、“偏导数”、“全微分”、“方向导数”、“向量函数导数”、“矩阵导数”、“行列式导数”这七个数学概念在定义、几何意义、作用、性质四个方面的详细说明。 一、导数 1、定义 对于实函数 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $（也可推广到复函数或更一般情形），在某点 $ x0 $ 处，导数定义...
傅里叶级数推导经典级数和
一、基本工具：Parseval 等式 设 $fx$ 是 $\pi, \pi$ 上平方可积的函数，其傅里叶级数为： $$ fx = \frac{a0}{2} + \sum{n=1}^\infty \leftan \cosnx + bn \sinnx\right $$ 则 Parseval 等式为： $$ \frac{1}{\pi}...
泰勒级数与傅里叶级数
一、泰勒级数（Taylor Series） 1. 定义 设函数 $fx$ 在某点 $x=a$ 的邻域内有无穷阶导数。若存在一个级数满足： $$ fx = \sum{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}a}{n!}x a^n, $$ 且该级数在某邻域内收敛于 $fx$，则称该级数为 $fx$ 在 $x=a$ 处的泰...
二维离散随机变量的分布
一、联合分布 Joint Distribution 1. 定义 设二维离散型随机变量$X, Y$的可能取值为$xi, yj$，其联合分布律为： $$ P\{X = xi, Y = yj\} = p{ij}, \quad i,j = 1,2,\cdots $$ 2. 性质 非负性：$p{ij} \geq 0$ 归一性：$\sum{i...
随机变量函数的分布
一、问题描述 设$X$为随机变量，已知$X$的概率分布，$Y = gX$是其函数。需要根据$X$的分布求出$Y$的分布。 二、离散型随机变量 1. 求解步骤 步骤1：列出$Y$所有可能取值$\{ yj = gxi | xi \in X\Omega \}$ 步骤2：对每个$yj$，计算概率： $$ PY=yj = \sum{xi...
全微分与复合多元函数偏导数
一、全微分 对于二元函数 $z=fx,y$，仅研究一个自变量变化时函数的性态是不够的，经常要讨论两个自变量 $x,y$ 分别有增量 $\Delta x,\Delta y$ 时，相应函数值的改变量（即全增量）： $$\Delta z=fx+\Delta x,y+\Delta yfx,y$$ 的变化情况。类似于一元函数的微分，下面以二元函数为例...