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常微分方程求解（5）
本文系统介绍一般线性微分方程的部分解法，包括：变量变换法（欧拉方程、降阶法、特殊变系数方程）、变动任意常数法、幂级数解法（定理、$\gamma$ 阶贝塞尔方程及其解）。 一、变量变换法 1、欧拉方程（CauchyEuler 方程） 典型形式： $$ a{0}x^{n}\frac{\mathrm{d}^{n}n}{\mathrm{...
二重极限存在性与不存在性的证明方法
一、二重极限的定义 设函数$fx, y$在区域$D$内，点$x0, y0$是$D$的聚点。若 $$ \lim{x, y \to x0, y0} fx, y = A $$ 则称$A$为$fx, y$在点$x0, y0$处的二重极限，记作 $$ \lim{x, y \to x0, y0} fx, y = A $$ 二、证明二重极限存在...
空间中切线、法平面、切平面、法线的求法
一、空间曲线的切线与法平面 1、曲线为参数方程表示 设空间曲线$C$的参数方程为： $$ \begin{cases} x = xt \\ y = yt \\ z = zt \end{cases} $$ 其中$t$为参数。其切向量为： $$ \vec{r}'t = \left \frac{\mathrm{d}x}{\mat...
常微分方程求解（4）
本文将系统介绍常系数线性微分方程的解法方法，分别包括二阶常系数齐次线性微分方程、$n$ 阶常系数齐次线性微分方程、以及常系数非齐次线性微分方程的解法。详细推导各步骤，便于理解和掌握。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 考虑如下方程： $$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + a1\frac{\ma...
曲面积分
曲面积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲面积分（标量场的曲面积分）和第二类曲面积分（向量场的曲面积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法及其变形推导。 一、第一类曲面积分（对面积的积分） 1、定义 设$S$是空间中的一个光滑曲面，$fx, y, z$是在$S$上定义的标量函数。第一类曲面积分是指对$f$沿$S...
曲线积分
曲线积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲线积分（标量场曲线积分）和第二类曲线积分（向量场曲线积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法和常见性质。 一、第一类曲线积分（对弧长的积分） 1、定义 设$C$是空间中的一条光滑有向曲线，$fx, y, z$是定义在$C$上的一个标量函数。第一类曲线积分是指对$f$沿$...
统计分布
一、抽样分布定义 统计量的分布称为抽样分布 sampling distribution。在使用统计量进行统计推断时需要知道抽样分布。一般情况下，要给出统计量的精确分布是很困难的，但在某些特殊情形下，如总体服从正态分布的情形下，我们可以给出某些统计量的精确分布，这些精确的抽样分布为正态总体情形下的参数推断提供了理论依据。 在数理统计中，最重要的三个...
统计量
一、统计量的定义 设 $X1,X2,\cdots,Xn$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，$gX1,X2,\cdots ,Xn$ 是样本 $X1,X2,\cdots,Xn$ 的函数，若$g$不含未知参数，则称 $gX1,X2,\cdots,Xn$是一统计量。 二、常用统计量 在统计学中，根据不同的目的可以构造出许多不同的统计量，下面是几个...
中心极限定理
一、林德伯格莱维中心极限定理 LindebergLévy CLT 1、定理内容 设${Xn}$是独立同分布的随机变量序列，且满足： 1. 期望存在：$EXk = \mu < \infty$ 2. 方差存在：$VarXk = \sigma^2 < \infty$ $\sigma 0$ 则对于部分和$Sn = \sum{k=1}^n...
各类积分的定义及表达
一、不定积分（Indefinite Integral） 数学定义： $$ \int fx\,\mathrm{d}x = Fx + C,\quad \text{其中 } F'x = fx $$ 通俗解释： 找到一个函数，其导数为已知函数 $fx$，即反导数。 二、定积分（Definite Integral） 数学定义：...