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二元函数的圆邻域与方邻域
在二维欧几里得空间中，我们常常用邻域来描述一个点周围的“微小区域”。对于一个点 $x0, y0 \in \mathbb{R}^2$，两种常见的邻域是圆邻域和方邻域。下面我们详细讨论它们的定义、公式推导及两者之间的关系。 一、定义与基本公式 1、圆邻域（开圆盘） 圆邻域使用欧几里得距离，也称为 $L^2$ 范数。对于给定半径 $r...
不同类型导数（微分）的区别
下面给出关于“导数”、“偏导数”、“全微分”、“方向导数”、“向量函数导数”、“矩阵导数”、“行列式导数”这七个数学概念在定义、几何意义、作用、性质四个方面的详细说明。 一、导数 1、定义 对于实函数 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $（也可推广到复函数或更一般情形），在某点 $ x0 $ 处，导数定义...
傅里叶级数推导经典级数和
一、基本工具：Parseval 等式 设 $fx$ 是 $\pi, \pi$ 上平方可积的函数，其傅里叶级数为： $$ fx = \frac{a0}{2} + \sum{n=1}^\infty \leftan \cosnx + bn \sinnx\right $$ 则 Parseval 等式为： $$ \frac{1}{\pi}...
泰勒级数与傅里叶级数
一、泰勒级数（Taylor Series） 1. 定义 设函数 $fx$ 在某点 $x=a$ 的邻域内有无穷阶导数。若存在一个级数满足： $$ fx = \sum{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}a}{n!}x a^n, $$ 且该级数在某邻域内收敛于 $fx$，则称该级数为 $fx$ 在 $x=a$ 处的泰...
全微分与复合多元函数偏导数
一、全微分 对于二元函数 $z=fx,y$，仅研究一个自变量变化时函数的性态是不够的，经常要讨论两个自变量 $x,y$ 分别有增量 $\Delta x,\Delta y$ 时，相应函数值的改变量（即全增量）： $$\Delta z=fx+\Delta x,y+\Delta yfx,y$$ 的变化情况。类似于一元函数的微分，下面以二元函数为例...
Bessel不等式与Parseval等式
一、误差公式 误差公式描述了函数 $fx$ 与其傅里叶级数 $k$ 阶三角级数部分和 $Skx$ 之间的逼近误差能量。具体公式为： $$ Ek = \int{\pi}^{\pi} \left| fx Skx \right|^2 \, dx = \int{\pi}^{\pi} |fx|^2 \, dx \pi \left \frac{a0^2}{...
级数的基础定义定理
一、级数定义与其收敛发散性 1、定义：级数、部分数列和 给定数列 $\{an\}$，将其每一项依次用“+”号连接起来的表达式： $$a1 + a2 + \cdots + an + \cdots $$ 称为无穷级数。由于其通项 $an$ 都是常数，也称之为常数项级数，记作 $\sum{n=1}^{+\infty} an$。 在级...
基本不定积分公式
一、不定积分的基本性质 1. $$\int kfxdx = k \int fxdx$$ 2. $$\int fx \pm gxdx = \int fxdx \pm \int gxdx$$ 二、基本积分公式 1 常数类 1. $$\int 1dx = x + C \quad \text{或} \quad \int dx = x...
常见等价无穷小量公式
一、基本等价无穷小 1. $\sin x \sim x$ 2. $\tan x \sim x$ 3. $\arcsin x \sim x$ 4. $\arctan x \sim x$ 5. $e^x 1 \sim x$ 6. $\ln1 + x \sim x$ 7. $1 \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ 8. ...
常见麦克劳林展开
1. 指数函数 $$ e^x = \sum{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $$ 2. 正弦函数 $$ \sin x = \sum{n=0}^{\infty} \frac{1^n x^{2n+1}}{2...