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曲面积分
曲面积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲面积分（标量场的曲面积分）和第二类曲面积分（向量场的曲面积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法及其变形推导。 一、第一类曲面积分（对面积的积分） 1、定义 设$S$是空间中的一个光滑曲面，$fx, y, z$是在$S$上定义的标量函数。第一类曲面积分是指对$f$沿$S...
曲线积分
曲线积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲线积分（标量场曲线积分）和第二类曲线积分（向量场曲线积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法和常见性质。 一、第一类曲线积分（对弧长的积分） 1、定义 设$C$是空间中的一条光滑有向曲线，$fx, y, z$是定义在$C$上的一个标量函数。第一类曲线积分是指对$f$沿$...
各类积分的定义及表达
一、不定积分（Indefinite Integral） 数学定义： $$ \int fx\,\mathrm{d}x = Fx + C,\quad \text{其中 } F'x = fx $$ 通俗解释： 找到一个函数，其导数为已知函数 $fx$，即反导数。 二、定积分（Definite Integral） 数学定义：...
线性微分方程解的一般理论
一、线性微分方程 1、方程形式 我们将未知函数 $y$ 及其导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$ 是一次式的 $n$ 阶微分方程，称为线性微分方程。这是在应用中经常遇到的一类方程，其一般形式是： $$ \frac{\...
常微分方程求解（2）
一、全微分方程定义与性质 我们将一阶方程改写为对称的形式： $$ Mx, y\mathrm{d}x + Nx, y\mathrm{d}y = 0 $$ 如果上式的左边恰好是某一个二元函数 $ux, y$ 的全微分，即： $$ Mx, y\mathrm{d}x + Nx, y\mathrm{d}y = \mathrm{d}ux, y $$ ...
常微分方程求解（1）
一般，在一个（组）方程中，如果未知量是一个（组）函数，而且该方程中含有此未知函数的导数，则称这种方程为微分方程（组），如果在微分方程里，出现的未知函数是单个自变量的函数，我们称这一类微分方程为常微分方程。下面通过几篇文章，推导各种常微分方程的求解方法。 一、可分离变量方程 我们首先讨论已解出导数的一阶微分方程的一种特殊形式 $$ \fr...
雅可比矩阵在积分变量替换上的应用
极坐标变换的雅可比行列式推导过程是理解多变量积分中变量替换的核心。以下是详细推导，结合几何直观与代数计算，验证其正确性。 一、极坐标变换的定义 将笛卡尔坐标 $x, y$ 转换为极坐标 $r, \theta$： $$ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta $$ 其中： $ r \g...
雅可比矩阵
一、雅可比矩阵的定义与推导 雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述向量值函数一阶偏导数的矩阵。对于一个函数 $ \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $，其雅可比矩阵 $ J{\mathbf{F}} $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，元素为各输出分量对输入变量的偏导数： $$ J...
证明二元函数某点极限存在、连续、可偏导、可微以及偏导数连续的方法
一、极限存在 证明 $fx,y$ 在 $a,b$ 处的极限存在，需要证明存在常数 $L$，满足 $$ \lim{x,y\to a,b} fx,y = L, $$ 即利用 $\epsilon$$\delta$ 定义证明 $$ \forall \epsilon 0,\, \exists \delta 0,\quad \text{使得...
二元函数的重极限和累次极限
在讨论二维函数极限问题时，“重极限”和“累次极限”是两个常见的概念。 一、重极限（双变量极限） 设 $fx,y$ 是定义在某区域内的函数，我们说 $$ \lim{x,y \to x0,y0} fx,y = L $$ 的含义是：对于任意给定的 $\varepsilon0$，存在 $\delta0$ 使得当 $$ 0<\sq...