一、全微分

对于二元函数 ，仅研究一个自变量变化时函数的性态是不够的，经常要讨论两个自变量 分别有增量 时，相应函数值的改变量（即全增量）：

的变化情况。类似于一元函数的微分，下面以二元函数为例介绍多元函数的全微分。

设二元函数 在点 的某邻域内有定义，若存在常数 对充分小的 和 均有

其中 ，则称函数 在点 处可微。称 为函数 在点 处的全微分，记作

由上面定义可知，全微分为全增量 的主要部分，因其为 的线性函数，通常称为线性主部。若 在点 处可微，则 在点 处可偏导。

证明：若函数 在点 处可微，则存在常数 使得 其中 。当 时， 因此 同样可得

根据上面定理，若函数 在点 处可微，则 特别地，对于函数 ，有 类似地，。

根据上面的定理及说明，若函数 在点 处可微，则 或

二、多元函数求偏导的链式法则

由于多元函数含多个自变量，其复合结构要比一元函数复杂：我们先介绍二元复合函数的偏导数计算方法，据此可以很容易推广到其他多元复合函数的情况。

设函数 和 定义在平面的区域上，函数定义在平面的区域上，且满足 . 则函数是以为外函数，为内函数的复合函数，其中为函数的自变量，为函数中间变量。

设函数和在点处偏导数存在，函数在对应点处有一阶连续偏导数，则和均存在，且

证明：当时

由于有一阶连续偏导数，根据全微分公式，有

当时，.

当时，.

所以

即： 同理可得： 上述给出的复合函数偏导数的计算方法，也称为复合函数偏导数计算的链式法则。