一、泰勒级数（Taylor Series）

1. 定义

设函数 在某点 的邻域内有无穷阶导数。若存在一个级数满足：

且该级数在某邻域内收敛于 ，则称该级数为 在 处的泰勒级数。

2. 泰勒公式及其拉格朗日型余项

设函数 在闭区间 上具有 阶连续导数。根据泰勒定理，存在某个 介于 与 之间，使得：

其中余项 的拉格朗日形式为：

3. 证明泰勒展开的推导

我们从函数的积分表示出发来构造展开：

假设 在 上 阶可导。

我们对 逐阶积分，建立如下恒等式：

首先注意：

又有：

代入得到：

不断重复这个操作，我们可以得到通式：

该积分余项形式称为积分余项型泰勒公式。

在此基础上，若我们对余项 应用平均值定理（广义柯西中值定理），可得：

其中 。

4. 泰勒级数收敛的条件

我们希望极限成立：

这需要对函数 的导数进行控制。

一种常见情况是：存在常数 与 使得：

则级数

在 内绝对收敛。

5. 示例： 的泰勒展开

函数 的各阶导数均为 ，所以 。

代入展开式得：

我们可以估算余项：

显然 ，当 ，所以级数收敛于 。

二、傅里叶级数（Fourier Series）

1. 定义

对于周期函数 ，设周期为 ，若 在 上绝对可积，可展开为：

2. 傅里叶系数的计算公式

利用正交性计算傅里叶系数：

• 零次项（平均值）：

• 余弦系数：

• 正弦系数：

3. 证明思路：使用正交基展开

正交函数系

函数系 在 上两两正交：

例如：

在正交系下展开函数

假设 可表示为这些正交函数的线性组合：

其中 是上述正交函数。

由于正交性，我们可以用“投影”的方式提取系数：

对应就是傅里叶系数 和 的计算。

4. 收敛性说明（狄利克雷条件）

若 满足以下条件，则其傅里叶级数在 上逐点收敛：

• 在 上绝对可积；
• 分段光滑（有限个不连续点和拐点）；
• 在每个不连续点收敛于左右极限的平均值：

5. 示例：周期为 的函数 在 上的傅里叶级数

1. 函数为奇函数 ⇒ 所有

2. 计算 ：

最终傅里叶展开为：

三、总结对比