曲面积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲面积分（标量场的曲面积分）和第二类曲面积分（向量场的曲面积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法及其变形推导。

一、第一类曲面积分（对面积的积分）

1、定义

设是空间中的一个光滑曲面，是在上定义的标量函数。第一类曲面积分是指对沿的面积积分，记作：

其中，表示曲面上的面积微元。

2、几何意义

是曲面上一小块的面积，表示这小块上的“函数值乘以面积”，整个积分就是对的“加权面积”求和。

举例：

• 时，就是曲面的面积。
• 为密度时，积分为曲面的总质量。

3、曲面积分的计算方法与变形

（1）参数化形式

设用参数方程表示为：

则面积微元为

其中

所以：

（2）投影法

假设可以投影到、、平面上的一个区域，且曲面可表示为、、等形式。下面的表示形式可以由参数化形式推导而来。

(a) 型：

其中 ,

因此：

(b) 型：

(c) 型：

证明： 曲面参数化：

则曲面参数化为

求微元面积： 首先计算

叉积为

取模得

所以

（3）隐函数型

假设曲面 上 ，且 在上各点具有连续偏导数。若在曲面上 ，则可用 作为 的函数，即 。

曲面上微元面积和微元在 平面投影面积之比为法向量模与 轴夹角的余弦的倒数，或直接用法向量推导，隐函数 的法向量为

曲面微元面积

其中

所以

其中为曲面在平面上的投影区域。

如果或，也可以对或积分，形式类似。

或

证明：

由隐函数求导法则：

代入上式：

因此，

其中 为曲面 在 平面上的投影区域。

（4）雅可比行列式的平方和的方法

设曲面 由参数 描述，，则曲面微元面积：

但直接参数化往往不容易，针对隐函数 ，我们可以利用三个雅可比行列式的平方和公式：

那么

证明：

参数化向量为

则

两者叉积：

所以

而

因此

（5）极坐标参数化（如球面、柱面）

• 球面：, ,

• 柱面：, ,

下面是证明过程：

（1）球面面积元的推导

设有半径为的球面，其参数方程为

其中为极角，为方位角。

步骤1：写出球面上点的参数化向量

步骤2：分别对参数和求偏导

对求偏导：

对求偏导：

步骤3：计算这两个向量的叉积

记

计算叉积：

计算每一分量：

• 分量：

• 分量：

• 分量：

因此

步骤4：取模（即为面积元）

步骤5：写出面积元

（2）柱面面积元的推导

设有半径为的柱面，其参数方程为

其中，。

步骤1：参数化向量

步骤2：分别对参数和求偏导

对求偏导：

对求偏导：

步骤3：计算这两个向量的叉积

计算各分量：

• 分量：

• 分量：

• 分量：

所以

步骤4：取模

步骤5：写出面积元

二、第二类曲面积分（向量场对面的积分）

1、定义

设是定义在曲面上的连续向量场，为上单位法向量，则第二类曲面积分是在法向方向的“通量”，记作：