一、抽样分布定义

统计量的分布称为抽样分布 (sampling distribution)。在使用统计量进行统计推断时需要知道抽样分布。一般情况下，要给出统计量的精确分布是很困难的，但在某些特殊情形下，如总体服从正态分布的情形下，我们可以给出某些统计量的精确分布，这些精确的抽样分布为正态总体情形下的参数推断提供了理论依据。

在数理统计中，最重要的三个抽样分布为 分布， 分布和 分布。

二、 分布

1、 分布的定义

设 为独立同分布的随机变量，且都服从标准正态分布。记：

则称服从自由度为的分布，记为，其中自由度表示上式中独立变量的个数。分布的密度函数为：

分布的自由度 决定了其密度函数的形状。

2、 分布的性质

1. 分布可加性: 设 ，且两者相互独立, 则 。

证明：根据 χ² 分布的定义, 我们可以把 和 分别表示为：

其中 和 都服从标准正态分布 , 相互独立， 相互独立，且 与 相互独立。根据 分布的定义：

2. 分布的数学期望和方差：设 ，则：

即 分布的数学期望等于自由度，而方差等于自由度的 倍。

证明：设 , 可以表示为 , 其中 且相互独立，因而 ，从而：

由分部积分可以得出 ，于是：

由 的独立性，有：

3. 分布分位数：对于给定的正数 ，称满足条件：

的 为 分布的上 (侧) 分位数。

费希尔 (Fisher) 曾证明，当充分大时，分布的上分位数可以有如下的近似：

其中 是标准正态分布的上 分位数。通常当 时，利用这个关系式的近似效果较好，可利用标准正态分布的上 分位数，并结合上述近似式来得到 分布的上 分位数的近似值。

三、 分布

1、 分布的定义

设 服从标准正态分布 ， 服从自由度为 的 分布，且 与 相互独立，则随机变量

服从自由度为 的 分布，记为 。分布又称为学生氏分布。 分布的概率密度函数为：

2、 分布的性质

1. 分布是对称分布，关于 对称。

2. 分布的期望为 ，方差为 （ 时）。

3. 当自由度 趋于无穷大时， 分布趋于标准正态分布。

4. 分布分位数：对于给定的正数 ，称满足条件

   的 为 分布的上（侧） 分位数。

四、 分布

1、 分布的定义

设 ，，且 与 相互独立，则随机变量

服从自由度为 和 的 分布，记为 。 分布的概率密度函数为：

其中 为 函数。或者把概率密度函数写为：

2、 分布的性质

1. 若，则。

2. 若，则。

3. 分布分位数：对于给定的正数 ，称满足条件

   的 为 分布的上（侧） 分位数。

五、正态总体下的抽样分布

设为来自正态总体的简单随机样本，是样本均值，为样本方差，则有：

并且有：与相互独立。于是可得：

证明：

且两者相互独立。由分布的定义知：

设 和 分别为来自正态总体 和 的两个相互独立的简单随机样本。记 分别是两个样本的样本均值， 分别是两个样本的样本方差，则有

当 时:

其中:

证明：

由前文结论：

由假设知 相互独立，由 分布的定义知：

即：

由正态变量的性质知：

即有：

又由 分布的可加性：

由于 和 相互独立，由 分布的定义知：