集合、关系、运算、结构 - 老官童鞋gogo的博客

一、集合、子集、幂集、直积

设是两个集合，如果含的元素全相同，就说相等，记作。如果对任意的，均有，则称是的子集，或说含于，包含，记作. 对任意的集合 ,均有.显然，集合相等，当且仅当与同时成立。
非空集合的所有子集组成的集合称为的幂集，记作：或。若集含有个不同元素，则其幂集含有个不同元素。例如集合的幂集：
我们把非空集的任一对有次序的元素叫有序二元组（或称序偶），记作，并称为第一元素，为第二元素。序偶中的两个元素也可属于同一集合（即）。两个序偶相等，当且仅当。由集合中所有元素构成的序偶组成的集合，叫做集合和的笛卡儿乘积（或称直积），即：设是两个非空集，我们把集合称为和的笛卡儿乘积（或称直积）。特别地，当时，（也常记作）是中一切元素所作成的序偶集合例如，可表示平面直角坐标系中全部点的坐标的集合。
定义 1.4 设是两个集合 ,我们把集合 $且$ , $或$ , 但分别叫做和的交集，和的并集，在中的余集。余集也可记作或，称为与的差集。如果，即，则在中的余集常记作.

二、二元关系及性质

设是一个集合，是涉及两个元素的一个规则，如果对于中的任两个元素均可确定它们是适合（记作）或不适合（记作），就称是集中的一个二元关系。如果把用序偶（）表示，那末集中所有适合关系的元素组组成的集合是的一个子集。因此，我们也可把的一个子集定义为集中的一个二元关系。更一般地，我们把的一个子集定义为集与间的一个二元关系。
设是集中的一个二元关系，如果：
1. 对任意的，均有，则称是自反的（或称反身的）；
2. 对任意的，若有就有，则称是对称的；
3. 对任意的，由和，可推出，则称是反对称的；
4. 对任意的，若有和，就有，则称是传递的。关系是自反的、对称的、反对称的和传递的，也常说成具有自反性、对称性、反对称性和传递性。

三、等价关系、等价类、商集

（等价关系）集合中的一个二元关系称为等价关系，如果是自反的、对称的和传递的。例如：数的相等关系、直线的平行关系、三角形的相似关系、多边形的顶点数相等的关系、人口集合中肤色相同或性别相同的关系、平面点集的点在固定直线上投影相同的关系都是等价关系。
（元素的等价和等价类）设是集中的一个等价关系，，如果，则称关于是等价的，并把所有与等价的元素集合称为关于的等价类（简称的等价类）。

定理设是集中的一个等价关系，，则当且仅当.

证明若，则由得；反之，若，则对任意的，即，由传递性得，即，故；同理可证，因此. 通常我们把称为的代表元。中任一元素均可作为的代表元。

推论若是集中的等价关系，则对任意的，只能是或.

证明设，则存在，于是有和，再由的对称性得 ,由的传递性得，从而.

定理若是集中的一个等价关系，则中存在关于的一族互不相交的等价类：（其中是所有等价类的代表元的下标组成的指标集），使得.

证明由于对任意的，均有，所以显然有。根据推论，这个式子右边的任意两个等价类不是相等就是互不相交，因此，取中所有互不相交的，其并集就等于.

以集的等价关系来划分的所有等价类作为元素所组成的集合，称为关于的商集，记作.

四、序关系、偏序集、全序集、数学归纳法原理

集中的一个二元关系称为偏序关系，如果具有自反性、反对称性和传递性。偏序关系常记作，读作“小于或等于”，具有偏序关系的集称为偏序集，记作.
设是一个偏序集：
1. 如果对任意的，均有或，则称为全序集，为全序关系。
2. 如果的任意非空子集都有最小元（即对任意的，均有），则称为良序集。
良序集必是全序集，因为良序集中任两个元素组成的子集必有或.

定理设，如果，且当时可推出，则。证设，则1年，由于,所以必有最小数，于是，即，如此由定理假设又得，这与矛盾。故，即.

依据这上面的定理，要证明一个命题对所有正整数成立，只需证明：
1. 命题对成立；
2. 若命题对成立，则命题对也成立。这就是通常的数学归纳法。

此外，数学归纳法还有另一种形式，称为第二数学归纳法。

第二数学归纳法原理：设是与正整数有关的一个命题，如果：
1. 对成立；
2. 假设对任意的成立，则对也成立，那末命题对一切正整数都成立。

五、向量运算

向量内积：向量与的内积是一个实数，且，其中为与的夹角（以后也常记作），并规定 . 若有一个是零向量，则规定.
向量与的外积是一个向量，其长度为. 的方向为：
1. 与都垂直；
2. 按“右手法则”确定的指向，即把的起点放在一起，将右手的四指（不含拇指）伸开由转到（转过的角度为），此时张开的拇指（与四指垂直）的指向就是的方向（这种由确定的指向的方法称为“右手法则”）。若有一个是零向量，规定.
对向量，先将作外积，再将其与作内积，即称为向量的混合积。

向量的混合积是一个数量，它的绝对值的几何意义是以为邻边的平行六面体的体积。
其中二阶行列式的定义为：

六、代数结构：群、环、域

1、群

代数系统称为群，如果：

运算封闭性。
运算满足结合律，即
关于运算存在单位元，即，使，有
中每个元素关于都可逆，即使得（单位元），并称为可逆元，为的逆元，记作.

是一个群，也说关于构成群。如果运算还满足交换律，即，有，则称为交换群，也称Abel群。当适合条件1时称之为半群。所以说，半群是一个带有结合律的二元运算的非空集合。

当适合条件1和2时，称之为含幺半群。

如果群的子集关于的运算也构成群，则称为的子群，记作。

2、环

代数系称为环，如果:

是交换群（加法群），其单位元记作（也称为环的乘法零元）；
是半群；
运算“”对“”满足左、右分配律，即 + ;

1
定义中的(3)是重要的，没有它，$R$只是对“$+$”和“$\circ$”分别构成交换群和半群，而不能成为区别于群结构的另一种代数结构。

1
 如果环$\langle R:+,\circ\rangle$ 中的乘法满足交换律。则称其为交换环；如环关于乘法存在单位元（乘法单位元$e$ 也常记作$1$），则称之为含幺环。

3、域

代数系称为一个域，如果它是至少含有两个元的交换环，且关于乘法运算是交换群。

由定义可见，至少含加法单位元（即环的零元）和乘法单位元.

任一个数集对于数的加法和乘法要构成一个域都必须含和.有理数集、实数集和复数集对数的加法和乘法都构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。根据域的公理化定义，数集对数的加法和乘法构成数域的条件也可表述为：数集含，，且对数的加、减、乘、除（除数不为）运算封闭。这是因为：对减法封闭即（）保证了中任何非零数对加法可逆（即）；对除法封闭（即，且，均有）保证了中任何非零数对乘法可逆（即）。

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