在讨论二维函数极限问题时，“重极限”和“累次极限”是两个常见的概念。

一、重极限（双变量极限）

设 是定义在某区域内的函数，我们说

的含义是：对于任意给定的 ，存在 使得当

时，有

这种定义要求无论 如何趋近于 （即任意路径），均能使 的值离 充分近，因此，重极限是对所有趋近路径的统一控制。

二、累次极限（迭代极限）

累次极限指的是先固定其中一个变量求极限，再对另一个变量求极限。以 为例，有两种情况：

1、先对 求极限，再对 求极限

首先，固定 ，考虑变量 的极限：

如果对于所有 在某邻域内该极限存在，则再对 求极限：

2、先对 求极限，再对 求极限

同理，固定 ，先求

然后再求

这两种迭代求极限的顺序可能产生不同的结果。

三、重极限与累次极限之间的关系及区别

1、存在性与唯一性

• 重极限存在性:
  若重极限

  存在，则无论采用哪种路径趋近，都必须趋向于 。

• 累次极限:
  其计算依赖于先后顺序。如果先求的极限与后求的极限分别存在，则我们可以讨论其值。但一般情况下，可能有

2、关系定理

通常有以下结论：

• 如果重极限存在，即 那么两个累次极限均存在且有
• 反过来，存在两个累次极限且它们相等不一定意味着重极限存在。也就是说，函数可能沿着某些特殊路径趋向于不同的值，从而使重极限不存在，即使两种迭代顺序下得到相同值。

3、典型反例

考虑函数

可以证明：

• 对于任意固定 或固定 ，累次极限均为 ；
• 但当沿路径 趋近 时，有 显然当 变化时，趋近值不同，从而重极限不存在。

四、性质总结

• 重极限的性质：

  • 要求函数值在任意趋近路径上都趋向于同一值，因而具有较强的统一性；
  • 在证明极限存在与连续性、函数一致性等问题中起关键作用。

• 累次极限的性质：

  • 依赖于变量变化的先后顺序，计算相对简单但可能遗漏函数在“非直角路径”上的表现；
  • 当两个累次极限不相等时，可以断定重极限不存在；当两者相等时，重极限是否存在还需进一步证明（例如通过构造全局 证明）。

五、总结

• 重极限 使用欧几里得距离描述 同时趋近于 ，要求所有趋近路径上的函数值均趋向于同一极限 。
• 累次极限 分两步计算，先对一个变量求极限，再对另一个变量求极限，容易出现顺序依赖的问题。
• 如果重极限存在，则两种累次极限必定存在且相等；反之，累次极限存在且相等并不能保证重极限存在。
• 在具体证明时，选择适当的极限概念尤为重要，要看函数在所有方向上的一致性与连续性。