一、离散型随机变量分布列

离散型随机变量的分布列是指随机变量取各个可能值的概率列表。设离散型随机变量 的可能取值为 ，则其分布列为：

其中 且 。

1. 0-1 分布（伯努利分布）

0-1 分布是描述只有两种可能结果的单次试验的分布。设随机变量 表示试验结果， 表示“成功”， 表示“失败”，则其分布列为：

其中 是“成功”的概率，。

2. 二项分布

二项分布描述在 重伯努利试验中“成功”次数的分布。设随机变量 表示在 次独立试验中“成功”的次数，则 服从参数为 和 的二项分布，记作：

其分布列为：

其中：

• 是每次试验“成功”的概率，。

3. 超几何分布

超几何分布描述在不放回抽样的情况下，具有特定属性的个体数量的分布。设总体中有 个个体，其中 个具有特定属性，随机抽取 个个体， 表示其中具有特定属性的个体数量，则 服从超几何分布，记作：

其分布列为：

其中：

• 表示从 个具有特定属性的个体中选出 个的组合数；
• 表示从 个不具有特定属性的个体中选出 个的组合数；
• 表示从总体 个个体中选出 个的组合数。

4. 几何分布

几何分布描述在伯努利试验中首次“成功”所需的试验次数的分布。设随机变量 表示首次“成功”发生的试验次数，则 服从参数为 的几何分布，记作：

其分布列为：

其中 是每次试验“成功”的概率，。

5. 负二项分布（帕斯卡分布）

负二项分布描述在伯努利试验中达到指定次数“成功”所需的试验次数的分布。设随机变量 表示第 次“成功”发生时的试验次数，则 服从参数为 和 的负二项分布，记作：

其分布列为：

其中：

• 是每次试验“成功”的概率，。

6. 泊松分布

泊松分布描述在单位时间或单位空间内某事件发生次数的分布。设随机变量 表示在单位时间或单位空间内事件发生的次数，则 服从参数为 （事件发生的平均速率）的泊松分布，记作：

其分布列为：

其中：

• 是单位时间或单位空间内事件发生的平均次数；
• 是自然对数的底数（约等于 2.71828）。

二、 连续型随机变量概率密度函数

设 是一个连续型随机变量，其概率密度函数（PDF）为 ，满足：

1. 对所有 成立；
2. ；
3. 对任意实数 ， 落在区间 内的概率为：

其分布函数记作：

1. 均匀分布

若连续型随机变量 在区间 上服从均匀分布，记作 ，其概率密度函数为：

2. 正态分布

若连续型随机变量 服从参数为 （均值）和 （方差）的正态分布，记作 ，其概率密度函数为：

特别地，若 ，，记作 ，概率密度函数为：

则称连续型随机变量 服从标准正态分布。

3. 指数分布

若连续型随机变量 服从参数为 （率参数）的指数分布，记作 ，其概率密度函数为：

4. Gamma 分布

若连续型随机变量 服从参数为 （形状参数）和 （率参数）的 Gamma 分布，记作 ，其概率密度函数为：

其中 定义为：

5. 二参数威布尔分布

若连续型随机变量 服从参数为 （尺度参数）和 （形状参数）的威布尔分布，记作 ，其概率密度函数为：

6. β 分布

若连续型随机变量 服从参数为 和 的 β 分布，记作 ，其概率密度函数为：

其中 是函数，定义为：