概率论与数理统计中的枢轴量法详解

一、基本概念

在概率论与数理统计中，枢轴量法（Pivot Quantity Method）是一种常用的构造置信区间的方法。其核心思想是通过构造一个在参数未知时依然服从已知分布的函数（枢轴量），进而推导出参数的置信区间。

设有样本 ，依概率分布 ，其中 是待估参数。枢轴量是形如 的函数，满足：

1. 的分布与 无关（或与 的分布形式已知）；
2. 是统计量与参数的函数。

二、枢轴量法的思想和步骤

1. 构造枢轴量 找到一个关于样本和参数的函数 ，其分布与 无关。

2. 利用枢轴量的分布 已知 的分布（一般是标准正态、卡方、t分布等），写出概率式：

3. 反解出参数的区间 将上式关于 反解，得到参数 的置信区间。

三、典型例子

1、正态总体均值未知方差已知

设 独立同分布于 ， 已知， 未知。

（1）构造枢轴量

样本均值 。 考虑

显然 ，其分布与 无关，是枢轴量。

（2）利用分布写概率式

（3）反解参数区间

将 换回原变量：

即

2、正态总体均值未知方差亦未知

，均未知。

（1）枢轴量构造

其中 ， 服从 分布：

（2）推导置信区间

即

3、方差的置信区间（正态分布）

则

反解得

四、常见枢轴量举例

1、单总体正态分布，参数 已知，估计

• 枢轴量：
• 置信区间：
• 置信上限：
• 置信下限：

2、单总体正态分布，参数 未知，估计

• 枢轴量：
• 置信区间：
• 置信上限：
• 置信下限：

3、单总体正态分布，估计

• 枢轴量：
• 置信区间：
• 置信上限：
• 置信下限：

4、两正态总体， 已知，估计

• 枢轴量：
• 置信区间：
• 置信上限：
• 置信下限：

5、两正态总体， 未知但相等，估计

• 枢轴量： 其中
• 置信区间：
• 置信上限：
• 置信下限：

6、两正态总体， 未知且不等，估计

• 枢轴量： 近似服从 分布，近似自由度
• 置信区间：
• 置信上限：
• 置信下限：

7、两正态总体，估计比值

• 枢轴量：
• 置信区间：
• 置信上限：
• 置信下限：