本文系统介绍一般线性微分方程的部分解法，包括：变量变换法（欧拉方程、降阶法、特殊变系数方程）、变动任意常数法、幂级数解法（定理、 阶贝塞尔方程及其解）。

一、变量变换法

1、欧拉方程（Cauchy-Euler 方程）

典型形式：

现在主要研究二阶欧拉方程解法。

首先变量变换，取 ，令 ，则 ，有

代入原方程后有

化简得：

这是二阶常系数线性微分方程，解法已知。对于 阶欧拉方程的情况，可做类似处理。

2、已知一个非零解的齐次线性微分方程的降阶法

考虑二阶齐次线性微分方程

已知一个非零解 ，求第二个线性无关解。

设 ，计算：

代入原方程：

由于 满足原方程，最后一项为零，得

令 , 则

这是关于 的一阶线性微分方程，解为

于是

积分得

因此，第二解为

由此得到刘维尔公式（Liouville公式）：设 是 的解，则另一线性无关解

在前段降阶法中，利用的一个解 ，作变换，使变换后的式左边第 项方括号中为零，从而达到降阶的目的。现在换一种思路，选取使式左边第项中为零，而若第项中恰为的倍（为常数），并且假设，那么约去此 之后，成为，从而成为容易求解的常系数线性齐次微分方程，达到求得原方程的通解的目的。按照上述思路，有下述结果：

设具有连续的一阶导数，连续，且满足，则微分方程：

可经变量变换，适当选取函数，使上述方程化为关于的二阶常系数线性微分方程而求解。事实上,由，有,，代入原给方程，得

取使，例如取

从而经计算有

于是原方程化为

即

这是二阶常系数线性齐次方程，容易求得它的通解，从而使得原给方程的通解。

二、变动任意常数法（拉格朗日变参数法）

针对非齐次线性微分方程

已知对应齐次方程的两个线性无关解 ，则特解设为

其中 为待定函数。对求导得

为了使变动常数为函数前后，其导数形式相同，令一阶导第二个方括号为零，则：

再求导数：

与上述式子同理，令二阶导的第二个方括号值为，联立得：

解得

其中 为解的朗斯基行列式。

积分得

最终得到原方程的一个解

再加上对应齐次方程的通解，得到该非齐次方程的通解：

三、幂级数解法（非考点）

1、幂级数解法定理

考虑 ， 和 在 处解析。

设 ，则

将级数代入方程，通过同幂次项系数相等法可递推求出全部 。

2、 阶贝塞尔方程

标准形式：

（1）幂级数法解

设 ，。

计算：

代入原方程

整理各项同次幂系数，得递推关系式

（2）特殊取值，Frobenius 级数法

取 或 ，各得一组独立解，分别定义为第一类和第二类贝塞尔函数。

3、 阶第一类贝塞尔函数

定义为

其中 为伽马函数。

4、 阶第一类贝塞尔函数

同上，取 ，得