本文将系统介绍常系数线性微分方程的解法方法，分别包括二阶常系数齐次线性微分方程、 阶常系数齐次线性微分方程、以及常系数非齐次线性微分方程的解法。详细推导各步骤，便于理解和掌握。

一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法

考虑如下方程：

其中 为常数。

1、特征方程法

设 ，代入原方程：

整理得：

由于 ，所以：

这就是特征方程。

2、特征方程的根的情况

设特征方程的根为 ，有三种情形：

（1），且均为实根

则通解为：

（2），为重根

则通解为：

（3），为共轭复根

则通解为：

其中 由 线性组合而得。

二、 阶常系数齐次线性微分方程的解法

考虑一般形式：

1、特征方程

同样设 ，代入得：

设其 个根为 ，重根和复根情况如下。

2、通解形式

1. 若 为 重实根，则通解中对应项为：

2. 若 为 重复共轭复根，则通解中对应项为：

3. 全部根的线性组合即为通解：

   其中 为多项式，次数不超过重根数减一。

三、常系数非齐次线性微分方程的解法

考虑一般形式：

1、通解结构

通解 ，其中：

• ：对应齐次方程的通解（见前述）。
• ：非齐次方程的一个特解。

2、求特解 的方法

常用方法有待定系数法和变系数法（常称为“变参数法”或“拉格朗日变参数法”）。

（1）待定系数法

适用于 为指数函数、三角函数、多项式或它们的有限和的情形。

• 设 的形式为多项式、指数函数、三角函数的线性组合，则对应设 为类似形式的函数，代入方程，确定未知系数。

设为多项式、指数函数、三角函数及其乘积的组合，记次多项式为，则：

若

则特解具有如下形式：

其中为次多项式，为：

• 是特征方程的重根（如果不是特征方程的根则）。

若

则特解具有如下形式：

其中和为次多项式，为：

• 的每一个值作为特征方程的重根（如果不是特征方程的根则）。

（2）变系数法（拉格朗日变参数法）

原因解释见常微分方程求解（5）-二

适用于 不是简单形式，或待定系数法不适用时。

• 先求得对应齐次方程的两个线性无关解 。

• 设

  其中 为待定函数。

• 根据拉格朗日法则，得

  解该方程组，积分得到 ，最终得到 。

于是得到常系数非齐次线性微分方程的通解为：

其中 为对应齐次方程的通解， 为该非齐次方程的一个特解。