一般，在一个（组）方程中，如果未知量是一个（组）函数，而且该方程中含有此未知函数的导数，则称这种方程为微分方程（组），如果在微分方程里，出现的未知函数是单个自变量的函数，我们称这一类微分方程为常微分方程。下面通过几篇文章，推导各种常微分方程的求解方法。

一、可分离变量方程

我们首先讨论已解出导数的一阶微分方程的一种特殊形式

的方程，其特点是，方程右边是一个的函数与一个的函数的乘积，我们称这类方程为可分离变量的微分方程。设和都是连续函数，且。

这类方程的解法被称为“分离变量法”，其核心思想是将含有的部分和含有的部分分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。

我们改写方程，使等号一边仅含 的函数和 的微分 ，另一边仅含 的函数和 的微分 ，即：

设 是方程满足初值条件 的解，则

两边从 到 积分，得：

对左式作变量变换，命 。则当 时，, 时，，于是有：

即 满足方程：

反之，设 是方程满足 所确定的隐函数，将上式两边对 求导数，得

故知 是方程的解。

也可用不定积分法求方程的通解：将式子两边分别对积分，得：

设有使，则易知也是方程的一个解，在求微分方程的解时，不要忘了这种解。这个解，有时可认为包含在积分式中，有时并不包含在积分式中，一般要单独去做。

二、齐次方程（零齐次方程）

我们首先讨论零齐次微分方程的一种特殊形式

该方程特点是，方程右边是一个关于 的函数，我们称这类方程为齐次微分方程。我们假设设 是连续函数。

这类方程的解法被称为“变量替换法”，其核心思想是通过引入新变量 ，将原方程转换为可分离变量的微分方程。

我们进行变量替换，令 ，则 ，对 求导得：

代入原方程，得到：

整理方程，使含 的部分和含 的部分分别分离：

进一步改写为可分离变量形式：

设 是方程满足初值条件 的解，对应的变量替换为 。对两边从 到 积分：

对右式直接积分，左式作变量变换 ，得：

将 代回，得到隐式解：

反之，将隐式解两边对 求导可验证解的正确性：

整理后还原为原方程形式。

通解可通过不定积分表示为：

三、一阶线性微分方程

1、一阶齐次线性方程

我们讨论一阶线性齐次微分方程的标准形式

其特点是方程可表示为未知函数 与其导数 的线性组合，且右端项为零。我们称此类方程为线性齐次微分方程，其中 是已知连续函数。这类方程的解法仍是为”分离变量法”。

将方程改写为可分离变量形式：

对两边分别进行不定积分：

计算左式积分时需注意 的隐含条件，得到：

通过指数运算消去对数，得通解表达式：

将 合并为任意常数 ，最终通解为：

当 时， 是方程的平凡解，已包含在通解表达式中，分离变量时假设 ，但最终通解通过常数 的任意性自然包含了所有可能情况。

2、一阶非齐次线性方程

我们讨论一阶线性非齐次微分方程的标准形式：

其特点是方程可表示为未知函数 与其导数 的线性组合，且右端项为已知函数 。我们称此类方程为线性非齐次微分方程，其中 和 是已知连续函数。这类方程的解法通常为”积分因子法”。

首先构造积分因子 ，使得方程可化为全微分形式。积分因子由下式给出：

将原方程两边乘以积分因子：

此时方程左边可表示为全导数形式，而构造积分因子的目的就是希望能够转化为一阶：

对两边进行不定积分：

计算左式积分并整理得：

将积分因子表达式代入并解出 ，得到通解：

其中 为任意常数。当 时，解自动退化为齐次方程的通解形式，表明非齐次解包含齐次解的特例。

由上式还可以看出，一阶非齐次线性方程的通解可以写成两项之和：

前者相当于一阶非齐次线性方程解中 的情形，因而它是非齐次方程的一个解；后者是对应的一阶齐次线性方程的通解。一般，我们可以证明，如果是对应的齐次方程的通解，是原方程的任意一个解，则是非齐次方程的通解，这与线性代数中齐次方程组与非齐次方程组的关系有异曲同工之处。

上面所用的方法，即将对应的齐次方程通解中的任意常数换成待定函数，以求得非齐次方程解的方法，叫做“变动任意常数法”。

三、伯努利方程

我们讨论伯努利方程的标准形式：

其特点是方程包含非线性项 ，但可通过变量代换化为线性微分方程。解法核心是通过幂函数变换将方程线性化。

使用“变量代换法”令 ，则对 求导得：

然后将方程线性化，将原方程乘以 ：

代入 和 表达式，方程化简为：

应用”积分因子法“构造积分因子 ：

将方程两边乘以 ，得到全导数形式：

对两边积分：

代回原变 量 ，得通解：