一、数域的概念

设 是一个至少含有两个不同数的数集，若数集 关于数的四则运算都封闭，则我们称数集是一个数域。

比如：整数集 不是数域，非负整数所成的集合不是数域，有限集不是数域。

有理数集、实数集和复数集是数域（有理数域、实数域和复数域）.

二、数域的简单性质

1. 存在异于有理数集、实数集和复数集的数域，例如：

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[card title=“数学符号” color=“info”]上式中表示其右边的表达式等于左边的表达式，并且可以用左边的表达式来简记右边的表达式。[/card]

例1 证明是一个数域。

证明 对于任意，存在使得. 于是，.因此： 又若,即，则，， 从而： 上述推演说明关于数的四则运算封闭，因而它是一个数域。

2. 任何一个数域一定包含无限多个数。

例2 证明性质「二、2.」

证明 对于任意选取的数域，由于它至少含有两个互异的数，因此，它至少含有一个非零数不妨记为.因数域关于数的加法运算封闭，对于任意的整数均在该数域中且各不相同。从而，所取的数域含有无穷多个数。

3. 有理数域包含与任意一个数域中，即有理数一定是任意一个数域的子集。

例3 证明性质「二、3.」

证明 对于任意选取的数域，由于它至少含有两个互异的数，因此，它至少含有一个非零数，不妨记为. 依数域关于除法、减法的封闭性，我们有：

依数域关于数的四则运算的封闭性，可推知所有整数，进而所有有理数均在中，或有理数域是的子集。由数域的任意性，结论恒真。

4. 记数域的全体所形成的集合为，则：

例4 证明性质证明性质「二、4.」

证明 对于任意一个数域,都有，故。 又，故. 上述关于两个集合相互包含的式子推知结论成立。正是因为有理数域有上述性质，我们通常称有理数域是“最小”的数域。

性质「二、4.」可以看成为性质「二、3.」的一种等价形式。