一、极限存在

证明 在 处的极限存在，需要证明存在常数 ，满足

即利用 - 定义证明

常用方法包括夹逼定理、改用极坐标或沿各方向验证极限值一致性。

二、连续性

函数 在 处连续要求

因此，在证明极限存在且等于 后，还需要验证 ，从而保证函数在该点没有“跳跃”。

三、可偏导性（偏导数存在）

证明偏导数存在时，需要分别讨论关于 和 的偏导数：

即固定另一变量，考察单变量极限的存在性。如果这两个极限存在，则称 在 处可偏导。

四、可微性

证明 在 可微，即在该点存在良好的线性近似。具体来说，存在一个线性函数（通常由偏导数组成）满足

这可以归纳为证明：

若满足该条件，则 在 可微，并隐含存在连续的线性近似。

五、偏导数连续

证明偏导数连续，则需检验在点 附近有

这通常要求先求出 与 的解析表达式，然后验证其在 处连续，通常利用已知函数的连续性和复合函数的连续性定理。

六、五者之间的互推关系

1. 可微性 连续性

   • 如果 在 可微，则必有良好的线性近似，因而必定在 连续。

2. 偏导数连续 可微性

   • 在一个区域内，若 的偏导数 与 连续，根据微分学中的定理（例如全微分存在的充分条件），可推出 在该区域内可微，因而在 也是可微的。

3. 连续性与极限存在

   • 极限存在 是讨论函数局部行为的一个前提，但只有当这个极限值与 相等时，才能论证连续性。
   • 因此，连续性要求极限存在且满足 ，但仅有极限存在并不一定意味着连续（例如，若函数在该点定义与极限值不符）。

4. 可偏导性 可微性

   • 一个函数在 可偏导（即存在 与 ）并不足以推出其可微性，因为残差项可能不满足 的条件。
   • 存在经典反例（如 在原点），其偏导数存在但函数并非可微。

5. 连续性 可偏导性

   • 函数在 连续并不必然保证偏导数存在。
   • 存在某些连续函数在某点偏导数不存在或者不连续的例子，这体现了连续性和可偏导性之间的独立性。