一、二重极限的定义

设函数在区域内，点是的聚点。若

则称为在点处的二重极限，记作

二、证明二重极限存在的方法

1、直接利用定义法

定义：
若对任意，存在，使得当时，有

则为二重极限。

步骤：

1. 给定任意。
2. 构造合适的，使得对于所有满足的，都有。
3. 证明上述条件成立。

适用情形：
函数形式清晰、可估算距离时，直接用定义法最严谨。

2、比较夹逼法（夹逼准则）

若存在和，使得，并且

则

步骤：

1. 找到和满足夹逼关系。
2. 分别计算和的极限。
3. 由夹逼定理得出的极限。

适用情形：
函数复杂、但可被简单函数夹住时。

3、转化为极坐标法

设，可设，则

步骤：

1. 用极坐标转换函数。
2. 令，考察极限是否与无关。
3. 若极限与无关，则极限存在；否则不存在。

适用情形：
极限点为原点，函数可适合极坐标表达。

4、先计算两个方向的累次极限

计算

和

如果两个累次极限都存在且相等，且函数连续，则二重极限存在且等于该值。但注意：累次极限相等是二重极限存在的必要非充分条件。

三、证明二重极限不存在的方法

1、沿不同路径趋近，极限值不同

选择两条不同的路径，若

则二重极限不存在。

常见路径：

• （直线）
• （抛物线）
• ， 等坐标轴

2、极坐标法发现极限依赖于

用极坐标转换后，若

依赖于，即不同取值有不同极限，则二重极限不存在。

3、累次极限不相等

计算累次极限

和

若二者不相等，则二重极限不存在。

4、夹逼法反证

若能证明对任意，总存在，使得无论多小，总有使，则极限不存在。