一、集合

1、证明集合相等的方法

证明，要证明且

2、集合的运算与运算律

1. 或 且 且 若，则称在中的余集（补集）为：

2. 交换律： 结合律：， 分配律：， 德摩根法则：，

例1：

设，证明：若，则.

证明：若,则存在整数使得： 因此有： 即得：

例2：

已知集合， ， . 问：当 为何值时， 为含有两个元素的集合？

解法一：集合运算

由集合的分配律，可知. 分别表示的是下述方程组的解： 解得 解得 由此，为了使得只含有两个元素的集合，可得或.

解法二：数形结合

集合与集合分别看作是两条直线，集合看做是一个圆，两直线分别过定点和，若两直线与只有两个交点，只存在与以下两种情况：

1. 共线
2. 分别与相切

综上得出或.

3、可数集、可数无限集

给定集合 称为有限集，如果是空集或者存在和一一映射，此时称有个元素，记作 称为无限集，如果它不是有限集。 称为可数无限集，如果存在一一映射 . 称为可数集，如果它是有限集或可数无限集。 称为不可数集，如果它不是可数集。 整数集合是可数无限集，构造——映射：

4、集族及其运算

假设是一集族（即由集合组成的集合）。 (1)集族中所有集合的并集定义为： . (2)集族中所有集合的交集定义为： . 如果集族，则集族的并和交分别记为： 如果集族，则集族的并和交分别记为：

二、映射

1、映射的定义和性质

设为两个集合。

如果对于任一元素，都存在唯一的与之对应，那么就称定义了一个从到的映射，记作，称为在映射下的像，记作 ，称为映射的定义域。

设，定义:

1. 象集：
2. 原象集： 注意：这里的并不一定是一个映射。

称两个映射和相等，记作 ，是指它们的定义域相同（记为）， 且对于任意的，有.

2、映射的分类

对于映射.

1. 若，则称是内射。
2. 若，则称是满射或全射。
3. 若是单点集，则称是单射。
4. 若既是单射又是满射，则称是一一映射或双射。

设 是一一映射，则可以通过下述方法

1. 若,则是单射等价于：
2. 若，则.
3. 若，则.

3、逆映射

作出一个映射.也就是说只有当在下的象为，才让与对应。由于是满射，这样就保证了的存在性；由于是单射，这样就保证了的唯一性。由此可得映射完全确定，称之为映射的逆映射。

注意到：映射也是一一映射。

4、复合映射

定义：设有映射，，且定义在的值域上，则可用

确定上的一个新映射.该映射称为映射与映射的复合。 复合映射的交换律 一般来讲是不成立的。 复合映射有结合律：设 ，则：

例3:

设有映射，证明 : (1)若 是单射，则 是单射。 (2)若 是满射，则 是满射。

证：

(1)若对任意的,则 由于 是单射，因此有. 即 是单射。 (2)由于是满射，所以对于任意的,存在 也即有,使得于是有是满射。

例4:

设有映射，，表示恒等映射，证明： (I)若，则是 单 射，是满射。 (II)若，，则是一一映射，且.