一、雅可比矩阵的定义与推导

雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述向量值函数一阶偏导数的矩阵。对于一个函数 ，其雅可比矩阵 是一个 的矩阵，元素为各输出分量对输入变量的偏导数：

1、从单变量导数到多变量全导数

在单变量微积分中，一元函数在处的导数定义为

它给出了函数在该点的最佳线性近似。推广到多元向量值函数，我们希望类似地得到一个线性映射，使得

这里的就是雅可比矩阵，它由所有偏导数组成，其元素为

从这一角度看，雅可比矩阵正是全导数的矩阵表示，将微积分的”导数”概念提升为“矩阵”层面，更形式化地，如果在处可微，则有

其中 即上述雅可比矩阵。

2、示例

设 ，则雅可比矩阵为：

3、雅可比行列式：

当 时，雅可比矩阵的行列式称为雅可比行列式，记作 或 。它表示函数在局部区域的体积缩放因子。

二、微积分中的应用

1、变量替换的积分

在多重积分中，雅可比行列式用于变量替换时调整体积元。例如，极坐标变换 ：

雅可比矩阵为：

行列式 ，因此积分转换公式为：

2、隐函数定理

若 满足 且雅可比矩阵 在点 可逆，则存在隐函数 。

三、线性代数中的应用

1、可逆性与局部线性近似

若雅可比行列式在某点非零（即 ），则函数在该点邻域内可逆（反函数定理）。例如，函数 的雅可比行列式为 ，在 有限时总可逆。

2、体积缩放因子

线性变换 的体积缩放因子为 。对于非线性变换，雅可比行列式 提供了局部体积缩放比例。

四、概率论中的应用

3、随机变量变换的密度转换

设随机变量 的联合密度为 ，经变换 ，则新密度为：

其中 是逆变换 的雅可比行列式。

示例：设 , ，则逆变换为：

雅可比矩阵：

行列式 ，故 。因此：

五、其他关键点

• 梯度与雅可比矩阵：标量函数 的梯度 是雅可比矩阵的特例（行向量）。
• 链式法则：复合函数 的雅可比矩阵为 。