一、均值不等式

对于个正数，有：

1. 称为算术平均值；

2. 称为几何平均值；

3. 称为调和平均值。

均值不等式即为： 当且仅当 时，等号成立。

特别地，当时，对正数有： 当且仅当时，等号成立。

例1 设正数满足,证明：

证明 不等式 而由均值不等式有.

二、柯西不等式

对于任意 2个实数 ,有，当且仅当存在常数使时，等号成立。

证明：（判别式法）因为对任意,有 ,即 所以 即 当且仅当,也即存在常数使时，等号成立。

注：

1. 也可在式中取得到柯西不等式。

2. 高中时期学习过向量法证明柯西不等式。

例3 已知正数 满足, 证明

证明 利用柯西不等式有: 又因为 在此不等式两边同乘以，再加上 得: 所以： 即有：

例4 设为A内的一点，为点到三边的距离，是 外接圆的半径。证明.

证明 由柯西不等式有： 记为的面积，根据正弦定理有: 所以： 由柯西不等式知：

三、伯努利不等式

设，实数都大于，且符号相同，则

特别地：

1. 有

2. 设，对任一正整数，有；

以上伯努利不等式可以推广指数为实数的形式。

例1 设 ，证明：

证明 由贝努利不等式有： 所以：

例2 证明为单调递增数列，为单调递减数列。

证明 令，因为，所以由得： 即为单调递增数列。 又因为，所以由得： 即为单调递减数列。

四、排序不等式

设有两组有序数组： ，则： 其中为 l的任一排列。当且仅当或时等号成立.以上不等式称为排序不等式。

例3 设 为互不相等的正整数，证明

证明 将从小到大排序，设为 其中 为 1,2,⋯,n 的一个排列，因为互不相等，所以有： 因此对两组数和，由排序不等式有：

例4 用排序不等式证明均值不等式

证明 记，令： 因为互为倒数，所以必为两组数和的逆序和，所以有： 即 当且仅当，也就是时，等号成立。

五、凹凸函数与琴生不等式

1、凹凸函数

此处对凹凸函数的定义为：设函数在上连续，

1. 若，有，则称为上的凸函数（开口向下）；
2. 若，有，则称为上的凹函数（开口向上）。

2、琴生不等式

1. 若函数 在上为凸函数，则，有： 当且仅当时等号成立。

2. 若函数在上为凹函数，则，有 当且仅当时等号成立。

例5 在锐角三角形中有

证明 因为对任意的有： 所以为凹函数，于是由琴生不等式有： 即

例6 利用琴生不等式证明均值不等式：

证明 取函数, ，则对于任意的正数，由： 可得： 因此为凹函数。于是对任意的正数，有： 即，从而得证。