一、格林公式

1、公式内容

其中为闭合曲线，为曲线围成的区域。

2、证明

假设区域是关于的单值区域，形如：

的正向是使区域始终在积分路径左侧。

（1）证明

曲线分为上下两部分：

• : ，从到
• : ，从到

则

但在上，从到，取负向，所以

同理

故

另一方面，

由微积分基本定理，

所以

因此

（2）证明

同理，为外层变量，为内层变量。

而的线积分也可写成上下边相减的形式，方向一致。

（3）合并

对于一般分片光滑区域可用分割法推广。

二、高斯公式

1、公式内容

假设，为曲面围成的区域，边界为。

2、证明（以方向为例）

考虑方向的分量

这正是与两个面的通量之和。

同理，对和方向分别有

六个面的通量和就是体积分中的各项和。

因此

对于一般有界区域，可将其分割为无数小长方体，每个小块的内部通量相互抵消，只剩外层的贡献。极限下成立。

三、斯托克斯公式

1、公式内容

为曲面的边界，为一曲面。

2、证明

考虑为参数面：

，，

面元

曲线积分

要证

（1）局部应用格林公式

可将分割为很小的区域，每个小区域的边界，在平面上应用格林公式（或二维斯托克斯公式）：

小区域内部的线积分在邻接区域间抵消，只剩下外部总边界上的线积分。

（2）合并

将所有小区域面积分累加，得整个曲面的曲面积分。极限下结论成立。

（3）具体坐标展开

以为平面区域，。

设在平面，，则

这正是格林公式的面积分部分。