我们首先介绍矢量微分算子 (Nabla 或 Del 算子)。在三维笛卡尔坐标系中，它的定义是：

其中 分别是 方向的单位矢量。

下面我们将分别推导梯度、散度和旋度的计算公式及其物理意义。

一、梯度 (Gradient)

梯度作用于一个标量场 ，结果是一个矢量场。

1、定义与推导

考虑一个标量场 。我们想知道这个标量场在空间中某一点附近的变化情况。根据多元函数微分学的知识，标量场 的全微分（total differential）为：

这表示当位置从 移动一个微小位移 时， 值的微小变化量。

我们可以将上式看作两个矢量的点积。定义一个矢量，称为 的梯度，记作 或 :

再定义微小位移矢量 :

于是，全微分可以写成：

根据点积的定义，，其中 是 和 之间的夹角。 单位位移的变化率（即方向导数）为：

这个变化率在 时取得最大值，即当 时。这意味着 的方向与 的方向一致。此时，最大的变化率为 。

所以，梯度 的方向是标量场 变化率最大的方向，其大小是这个最大变化率。

计算公式 (笛卡尔坐标系):

2、物理意义

1. 方向：梯度 的方向指向标量场 在该点增加最快的方向。
2. 大小：梯度 的大小表示标量场 在该点沿最快增加方向的单位距离变化率（即最大方向导数）。
3. 等值面法线：对于一个等值面（或等值线）（常数），在该面上任意一点的微小位移 都满足 。由于 ，所以 。这意味着梯度 与等值面在该点的切平面（或切线）上的任何矢量 都正交。因此，梯度 的方向是等值面的法线方向。

例子：

• 温度场 ： 指向温度升高最快的方向，其大小表示温度变化率。热流密度通常与 成正比（傅里叶热传导定律）。
• 电势场 ： 是电场强度 。电场线指向电势降低最快的方向。
• 高度场 ： 指向坡度最陡峭的向上方向。

二、散度 (Divergence)

散度作用于一个矢量场 ，结果是一个标量场。

1、定义与推导

散度的物理解释是矢量场在某一点的源的强度或汇的强度。一个更严格的定义是：

其中 是一个包含某点的微小体积元， 是包围 的闭合曲面， 是指向外侧的面积元矢量。这个积分表示通过闭合曲面 的矢量场 的总通量。散度就是单位体积的净流出通量。

我们考虑一个在点 附近，边长分别为 的微小长方体体积元 。长方体的中心近似为 。 我们计算通过这个长方体六个面的通量。

1. 考虑沿 方向的通量：

   • 右侧面 (在 处，面积 ，法向 ): 通量
   • 左侧面 (在 处，面积 ，法向 ): 通量
   • 沿 方向的净通量 : 对于微小的 ，方括号内的差值可以近似为（根据中值定理或泰勒展开）： 所以，

2. 类似地，沿 方向的净通量：

   • 上侧面 (在 处，法向 ):
   • 下侧面 (在 处，法向 ):
   • 净通量

3. 沿 方向的净通量：

   • 前侧面 (在 处，法向 ):
   • 后侧面 (在 处，法向 ):
   • 净通量

总的净通量

根据散度的定义：

这也可以看作是 算子与矢量场 的点积：

计算公式 (笛卡尔坐标系):

2、物理意义

1. 源与汇：散度描述了矢量场在某一点的“流出”或“汇入”的强度。

   • ：该点是矢量场的“源”(source)，表示有净流出。例如，流体在此处膨胀或有物质产生。
   • ：该点是矢量场的“汇”(sink)，表示有净流入。例如，流体在此处压缩或有物质消失。
   • ：该点无源无汇，或者流入量等于流出量。这样的场称为无源场或螺线管场（solenoidal field）。例如，不可压缩流体的速度场（没有源或汇的情况下），磁场（，磁单极子不存在）。

2. 高斯散度定理：散度与高斯散度定理密切相关，该定理指出：

   这表示体积 内所有源（或汇）的总强度等于通过包围该体积的闭合曲面 的净通量。

例子：

• 流体速度场 ： 表示流体在某点的膨胀率或压缩率。对于不可压缩流体，。
• 电场 ： (高斯定律的微分形式)，其中 是电荷密度， 是真空介电常数。电荷是电场的源。
• 磁场 ： (高斯磁定律)，表明不存在磁单极子。

三、旋度 (Curl)

旋度作用于一个矢量场 ，结果是另一个矢量场。

1、定义与推导

旋度描述了矢量场在某一点的“旋转”或“环流”的程度和方向。旋度矢量的方向是旋转轴的方向（遵循右手法则），其大小表示旋转的强度。 旋度 的任意方向 上的分量定义为：

其中 是一个以 为法线方向的微小闭合回路， 是该回路所围成的面积。积分 称为矢量场 沿闭合路径 的环量。

我们推导旋度的 分量 。考虑在 平面内，以点 为中心的一个微小矩形回路，其顶点为 , , , 。面积 ，法向为 。我们沿逆时针方向计算环量。

1. 路径 1 (底边): 从 到 。。
2. 路径 2 (右边): 从 到 。。
3. 路径 3 (顶边): 从 到 。。
4. 路径 4 (左边): 从 到 。。

总环量 :

对于微小的 :

所以，

根据旋度分量的定义，:

通过对坐标进行轮换对称 ，可以得到旋度的其他分量：

将这三个分量组合起来，得到旋度矢量：

这可以形式上写成 算子与矢量场 的叉积，通常用行列式表示：

计算公式 (笛卡尔坐标系):

2、物理意义

1. 旋转性：旋度描述了矢量场在某一点的涡旋强度和旋转轴方向。

   • 如果 ，则该场是有旋场 (rotational field)。想象在场中放置一个微小的桨叶轮，如果它开始旋转，则该点旋度非零。旋度矢量的方向是桨叶轮的旋转轴方向（由右手法则确定），其大小与旋转角速度成正比。
   • 如果 ，则该场是无旋场 (irrotational field) 或保守场。这意味着场线不会形成闭合的小环路，或者说场中没有涡旋。对于无旋场，一定存在一个标量势 使得 （如果场是单连通的）。

2. 斯托克斯定理：旋度与斯托克斯定理密切相关，该定理指出：

   这表示通过一个开放曲面 的旋度通量等于矢量场 沿该曲面边界闭合路径 的环量。

例子：

• 流体速度场 ： 是流体的涡量 (vorticity) 的两倍，描述了流体微团的旋转。如果 ，流动是无旋流动。
• 磁场 ： (安培-麦克斯韦定律的微分形式)，其中 是电流密度。电流和变化的电场是磁场的涡旋源。
• 静电场 ：，表明静电场是无旋场，因此可以表示为电势的梯度 。

总结：

• 梯度 ：标量场 矢量场。表示标量场变化最快的方向和速率。
• 散度 ：矢量场 标量场。表示矢量场的源强度或流发程度。
• 旋度 ：矢量场 矢量场。表示矢量场的旋转或环流程度。

这些算子是电磁学、流体力学、热力学等许多物理学分支中描述场的基本工具。