线性微分方程解的一般理论 - 老官童鞋gogo的博客

一、线性微分方程

1、方程形式

我们将未知函数及其导数是一次式的阶微分方程，称为线性微分方程。这是在应用中经常遇到的一类方程，其一般形式是：

其中及都是的已知函数。当时，称为非齐次线性微分方程，其中称自由项，当时，称：

为齐次线性微分方程。

2、解的存在唯一性定理

（1）定理

设线性微分方程中的系数以及都在区间内连续，，则在该区间内存唯一的，满足初值问题（线性微分方程和初值条件，并且在内连续，有直至阶的连续导数。

证明：（较为困难，未做要求）

考虑区间上的阶线性微分方程：

其中和在内连续。对任意初值条件

存在唯一解在上满足条件，且在上有直至阶连续导数。

转化为一阶线性方程组
定义新变量：

原方程等价于：

其向量形式为：

其中

验证连续性条件
与在上连续（因和连续）。

利普希茨条件
右端函数关于是线性的，故在任意闭区间上满足利普希茨条件：

其中。

局部存在唯一性
由Picard-Lindelöf定理，初值问题在的邻域内存在唯一局部解。

解的全局延拓
因和在上连续，线性方程的解可延拓至整个，无爆破现象。

解的光滑性
解的分量即原方程解，且满足：

由方程右端连续函数确定，故。

结论
存在唯一解在上满足初值条件，且在上有阶连续导数。

（2）推论

设上述定理的条件成立，则满足齐次线性微分方程条件及零初值条件的唯一解是。

证明：

证明因为满足齐次线性方程及零初值条件，再由上述解的存在唯一性定理，故此唯一解必是，证毕。

二、齐次线性微分方程通解的结构

为书写简单，将线性微分方程的左边即为，即：

1、线性微分方程的线性性

设是一个常数，是一个函数且有直到阶导数，则：

即：

由于具有上面的性质，所以称其为线性微分算子。并推导出以下定理：

设是齐次线性方程 (2.2) 的个解（有个解是因为不受初值问题约束），是个常数，则：

也是齐次线性方程的解。

2、朗斯基行列式

设个函数有直至阶的导数，则称由它们构成的行列式：

为函数的朗斯基行列式。

如何判别阶齐次线性方程个解的线性无关（相关），有下述定理：

**定理：**设是齐次线性方程的个解，则在区间内线性相关的充分必要条件是它们的朗斯基行列式：

证明：

先证必要性。设线性相关。则存在不全为零的个常数，使

将上述恒等式两边依次求阶导数，得：

由上式构成的关于的齐次线性代数方程组可知，它有一组不全为零的解，故对一切，该代数方程组的系数行列式应等于零，即。再证充分性。设，取，于是，则关于未知数的齐次线性代数方程组：

有不全为零的解。由线性性可知，

是齐次线性方程的解，且满足零初值条件。

再由定理的推论知，，即：

但因不全为零，线性相关。

根据定理的证明过程得到推论：

**推论：**设是齐次线性方程的个解，则它们的朗斯基行列式在区间内或者处处不为零，或者处处为零。

为了便于应用，给出定理的另一种表示方法。

**定理：**设是齐次线性方程的个解，则在区间内线性无关的充分必要条件是它们的朗斯基行列式。

3、齐次线性微分方程通解结构定理

由此我们可以证明下述齐次线性微分方程的通解结构定理。

**定理：**设是齐次线性方程的个线性无关的解，是个任意常数，则：

是其通解。

证明：

由定理知，上式为解。为了证明其是通解，只需证明，对任意给定的初值条件，总可以找到相应的一组常数，使得当时所对应的解满足初值条件。即证以)为未知数的线性代数方程组：

存在解就可以了，因为系数行列式是，根据定理，由线性无关解 , , 构成的朗斯基行列式，因此。故有唯一的解。由此构成的:

必满足初值条件，证毕。

定义：设是齐次线性方程的个线性无关的解，则称是它的一个基本解组。

那么如何确定基本解组是否存在？存在以下定理：

**定理：**齐次线性方程必有且正好有个线性无关的解，即齐次线性微分方程的基本解组必存在

证明：考虑初值条件：

注意在处只是的第阶导数的值为，其余各阶导数的值都为零。对于每一个，分别存在唯一的解。由这个解构成的朗斯基行列式在处的值为：

故知线性无关，即存在个线性无关解。它们构成一个基本解组，再由定理可知，任意个解必线性相关，故有且正好有个线性无关的解。证毕。

三、非齐次线性微分方程的通解结构

1、引理

设与是非齐次线性方程的两个解，则是对应的齐次线性方程的一个解。
设与分别是非齐次线性方程的一个解及对应的齐次线性方程的一个解，则也是非齐次线性方程的一个解。

2、通解结构定理

设是非齐次线性方程的一个解，是其所对应的齐次线性方程的通解，则：

是非齐次线性方程的通解。

证明过程与线性代数中非齐次线性方程和齐次线性方程解的关系类似。

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