一阶线性微分方程组解的一般理论

我们约定向量用粗体小写字母表示，如，矩阵用大写字母表示，如。该部分考试不做要求。

一、一阶微分方程组的标准形式

含有个未知函数的个一阶微分方程构成的一阶微分方程组，如果已经解出了一阶导数，则其标准形式可以写为：

其中是定义在维空间的某个区域内的已知函数，是自变量。

为了书写方便，我们引入向量记号。令：

则方程组可以简写为向量形式：

二、线性一阶微分方程组的标准形式

如果微分方程组 (3.1) 中的每一个函数都是变量的线性函数，则称这种微分方程组为线性微分方程组，简称线性方程组。线性方程组的标准形式是：

其中和是自变量的已知函数，通常假定它们在某个区间上连续。

用向量和矩阵表示，令：

则上述线性方程组可以写成如下的向量形式：

这称为 非齐次线性微分方程组。

三、齐次线性方程组

如果在线性方程组中，所有的（即向量），则称该方程组为 齐次线性微分方程组。其标准形式为：

或用向量形式表示为：

我们通常称这个方程为 (HL)，即 Homogeneous Linear（齐次线性）。而非齐次线性方程组则称为 (NHL)，Non-Homogeneous Linear（非齐次线性）。

四、常系数线性微分方程组解的一般理论

（注：以下大部分理论对变系数线性微分方程组也成立，除非特别指明是常系数。）

考虑初值问题 (IVP):

其中是某个初始时刻，是维初始状态向量。

1、初值问题解的存在唯一性定理 (Picard-Lindelöf 定理)

定理叙述：设向量函数在区域 () 上连续，并且关于满足 Lipschitz 条件，即存在常数，使得对于中的任意两点和，都有：

（其中表示向量的某种范数，例如欧几里得范数或最大范数）。则初值问题，在区间上存在唯一的连续可微解，其中， (由于连续，存在)。

证明：

等价的积分方程：如果是初值问题的一个解，那么对从到积分，并利用初始条件，得到：

反之，若连续函数满足此积分方程，则，且对其求导（由于和连续，积分的被积函数连续，故可求导）得。因此，解初值问题等价于解此积分方程。
Picard 迭代序列：定义函数序列如下：
$常向量函数$
我们将在区间上证明这个序列的收敛性，其中。
迭代序列中的函数有定义且在内：对于 (不妨设 , 的情况类似处理，只需将代替 )：当，，显然。。则

所以的图像仍在的范围内。假设对都有。那么有定义。则

由数学归纳法，所有在上有定义，且其值满足。
序列的收敛性：考虑级数。如果此级数收敛，则其部分和序列收敛。我们来估计。对于 (同样设 )：

一般地，假设。则

这个归纳对也成立，即：

考虑级数 . 其各项由控制。这个级数是收敛的，因为。根据 Weierstrass M-判别法，向量函数级数在上一致收敛。记其极限函数为。由于都是连续函数，且级数一致收敛，所以在上连续。同时，由于对所有和，，取极限后。
极限函数是解：我们有。当时，。我们需要证明

考虑差值：

由于在上一致收敛到，对任意，存在，当时，对所有成立。所以上式

因此

取极限得到：

这表明是积分方程的解，从而也是初值问题的解。
解的唯一性：假设存在两个解和满足初值问题，且都在某个区间上有定义。则它们都满足积分方程：

令。则。
$设$
令。则且。我们有。所以。即。乘以 (这是一个积分因子):

对从到积分：

由于，得到。因为且，这只可能当对所有 (在内) 成立。如果且且连续，则必须有对所有。即，所以。对于的情况，可以类似地考虑或使用 Gronwall 不等式的其他形式。因此解是唯一的。

(注：这里使用了 Gronwall 不等式的一个简单形式的推导。)

4.2 推论 (针对线性系统)

对于线性微分方程组

如果和在区间上连续，那么在上连续。并且，对于任意和属于：

如果在区间的任何闭子区间上，是连续的，那么矩阵范数在上有界，设为。此时，Lipschitz 条件在上成立，Lipschitz 常数为。这意味着对于线性系统，如果系数矩阵和非齐次项在区间上连续，那么对任意和任意初始值，初值问题的解在整个区间上存在且唯一。 (这里可以取任意大，所以中的项不再是限制因素，只要能覆盖整个区间即可。)

4.3 向量函数的朗斯基行列式 (Wronskian)

考虑齐次线性方程组。设有个解。这些解都是维列向量。我们可以将它们并列构成一个的矩阵，称为解矩阵 :

其中表示第个解向量的第个分量。

定义：这个解的朗斯基行列式 (Wronskian) 定义为：

Abel 公式 (Liouville 公式)：朗斯基行列式满足一阶线性微分方程：

其中是矩阵的迹。解这个方程得到：

证明 Abel 公式: 设。根据行列式导数的性质（对列向量函数求导）：

由于每个都是方程的解，所以。代入上式：

我们使用一个关于行列式和矩阵迹的恒等式：对于任意矩阵和任意矩阵，有

(此恒等式的证明：若 (单位矩阵)，则。左边变为。是的第列。所以等于的第个对角元素。因此左边等于。对于一般的可逆矩阵，可以通过变换到来证明。如果不可逆，则，且列向量线性相关，通常左边也为0。)

应用此恒等式于我们的情况，令，则：

这就证明了 Abel 公式。

Abel 公式的推论:

如果对于某个，那么对于所有 (因为指数函数的值恒为正)。
如果对于某个，那么对于所有。因此，朗斯基行列式或者在区间上恒不为零，或者在区间上恒为零。

朗斯基行列式与线性无关性: 齐次线性方程组

的个解在区间上线性无关的充分必要条件是它们的朗斯基行列式对于中的任意一点 (因此对于中的所有点 ) 成立。

证明: () 充分性：假设解组在区间上线性相关。那么存在不全为零的常数，使得对所有，有

这意味着矩阵的列向量对所有都是线性相关的。因此，它们的行列式对所有成立。

() 必要性：假设对于区间中的某一点成立。根据 Abel 公式的推论，这意味着对所有成立。在时，。这表明矩阵的列向量是线性相关的。因此，存在不全为零的常数，使得

现在考虑向量函数。由于每个都是齐次线性方程组的解，且方程是线性的，所以也是该方程组的一个解。并且，。我们现在有一个初值问题：

显然， (零向量函数) 是这个初值问题的一个解。根据线性系统解的唯一性定理（4.2节的推论），我们必有对所有成立。也就是说，对所有成立，并且常数不全为零。这表明解组在区间上是线性相关的。综上所述，解组线性无关当且仅当。

4.4 齐次线性微分方程组的通解结构定理

定理叙述: 如果齐次线性方程组的个解在区间上是线性无关的 (即它们的朗斯基行列式 on ), 那么该齐次线性方程组的通解可以表示为这些解的线性组合：

其中是任意常数。这样一个线性无关的解组称为方程组的一个 基本解组 (fundamental set of solutions)。由基本解组构成的矩阵称为一个 基本矩阵 (fundamental matrix)。

证明:

线性组合是解: 令。则

所以，解的任意线性组合也是方程的解。
任何解都可以表示为这种形式: 设是方程的任意一个解。在区间中取定一点。我们的目标是找到常数使得

这个方程可以写成矩阵形式: , 其中。由于解组是线性无关的，它们的朗斯基行列式。这意味着矩阵是可逆的。因此，存在唯一的常数向量满足上述代数方程组：

现在，用这些求得的常数构造函数。根据证明的第一部分，是原齐次线性方程组的一个解。并且，在时，。因此，和是同一个初值问题 , 的解。根据解的存在唯一性定理（4.2节的推论），我们必须有对所有成立。所以，齐次线性方程组的任意解都可以表示为基本解组的线性组合的形式。

4.5 非齐次线性微分方程组的通解结构

考虑非齐次线性方程组 (NHL):

以及对应的齐次线性方程组 (HL):

定理叙述: 非齐次线性方程组 (NHL) 的通解可以表示为：

其中是对应的齐次方程组 (HL) 的通解，是非齐次方程组 (NHL) 的任意一个特解。

证明:

证明是 (NHL) 的解: 设是 (HL) 的通解，即。设是 (NHL) 的一个特解，即。令。则

所以是 (NHL) 的解。由于包含个任意常数（来自齐次通解），是 (NHL) 的通解。
证明 (NHL) 的任意解都可以写成这种形式: 设是 (NHL) 的任意一个解，是 (NHL) 的某一个（已知的）特解。即和。考虑函数。

这表明是对应的齐次方程组 (HL) 的一个解。因此，必可表示为 (HL) 的通解形式。也就是说，是（(HL) 的通解）中的一个特定解。所以 (这里代表一个特定的齐次解)。从而 (这里可以被理解为齐次通解，因为是任意的非齐次解)。这就证明了 (NHL) 的任意解都可以表示为齐次通解与一个非齐次特解之和。

关于常系数: 上述理论（存在唯一性，朗斯基行列式，通解结构）对变系数均成立。当（常数矩阵）时，称为常系数线性微分方程组：

和的连续性条件简化为的连续性（因为常数矩阵总是连续的）。
Abel 公式中的变为常数，所以。
寻找基本解组的方法有特定的技巧，例如利用特征值和特征向量（当可对角化时）或广义特征向量。例如，若是常数矩阵的特征值，是对应的特征向量，则是齐次方程组的一个解。

这些是关于一阶微分方程组和线性一阶微分方程组（特别是常系数情况）解的一般理论的核心内容。

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