一、函数的概念

1. 设为实数集。如果对于任一元素 ,都存在唯一的按照对应法则与之对应，则称为一元实值函数，或一元函数、函数，记为.

2. 函数的定义域： 函数的值域： 函数的图像：

二、函数的构成/生成

1. 四则运算：、、
2. 复合运算：
3. 反函数运算：给定函数是实数集与之间的一一映射，如果对于任意的 ,都存在唯一的通过关系式与之对应 ,那么就称该对应为函数的反函数，记为

三、函数的有界性

1. 定义：设.如果的值域有上界，则称函数在上有上界；即存在常数，使得对于任意的，有.如果的值域有下界，则称函数在 上有下界；即存在常数,使得对于任意的，有 .既有上界又有下界的函数称为有界函数。

2. 在上有界的充要条件是.

3. 如果在上不是有界函数，则称在上无界。在上无界等价于对于任意的，都不是的一个界。在上无界的充要条件.

例1 证明：函数在区间上无界。

证明 ，选取正整数以及，于是有：

四、单调函数的基本性质

1. 定义设. 如果，有 ，则称在上(严格)单调递增。 如果，有，则称在上(严格)单调递减。

2. 单调函数必存在反函数，且反函数的单调性与原函数相同。有限多个单调递增函数的和仍为单调函数。（四则运算）

3. 若递减函数定义在上，在上递增，则在上递减。（同增异减）

例3 考虑函数

结论 该函数的反函数就是本身,且在任意区间上都不是单调的。

五、函数的奇偶性和单调性

1、奇偶性

例4 设函数是区间上的奇函数且有反函数，证明：该函数的反函数也是奇函数。

证明

这就说明：.

2、周期性

例5 设函数是上的周期函数，且为其最小正周期。证明：若对于任意的，则不是周期函数。

证明 （反证法）设是周期函数，周期为，则有： 令，可得.则存在自然数，使得，即. 再令，可得 由此可得.因此，存在一个自然数，使得.这说明是自然数，且. 矛盾，所以不是周期函数。